Matemáticas védicas: Entre el 1 500 y el 800 a.C. se habla del periodo de las matemáticas
védicas. Los Vedas eran colecciones de literatura en las que, entre muchas
otras cosas, se encuentra matemática. Esto, en particular, en unos
"apéndices'' llamados Vedangas. Entre ellos, los Sulbasutras trataban de construcción
y medidas de altares sacrificiales, y aquí había geometría. Hubo 3 de ellos
relevantes para las matemáticas, escritos, respectivamente, por: Baudhayana, Apastamba
y Katyayana. El primero formula el teorema de Pitágoras, da un procedimiento
para calcular la correcta hasta la quinta cifra decimal, y diversas
construcciones geométricas. El segundo amplía estos temas. El último no añade
mucho. La geometría aquí provenía de la integración de orientación, forma y
área de los altares, según las prescripciones de los libros sagrados védicos.
Había resultados geométricos, procedimientos de construcción de altares y algoritmos.
El teorema de Pitágoras está incluido de la siguiente manera, por ejemplo, por Katyayana: "La soga (estirada a lo largo de la
longitud) de la diagonal de un rectángulo produce un (área) que producen
conjuntamente los lados horizontal y vertical''. En la construcción de un altar
aparecen varios tripletes pitagóricos, incluso con números irracionales.En las construcciones geométricas que planteaban, había cuadrados,
rectángulos, trapecios y círculos, que se debían construir con restricciones de
área. Un par de ejemplos: "Fusionar dos cuadrados iguales o desiguales
para obtener un tercer cuadrado'', "transformar un rectángulo en un cuadrado
de la misma área''. Las matemáticas
védicas incluyen aproximaciones a raíces cuadradas. Se presume que esto se originó
al intentar resolver el problema de construir un altar cuadrado que tuviera
como área el doble de un cuadrado dado.
El periodo clásico : Empezamos
citando algunos astrónomos y matemáticos: Aryabhata I (nació alrededor del 476 d.C.),
Brahmagupta (alrededor del 598), Mahavira (ca. 850), Sridhara (ca. 900),
Bhaskara (nació 1 114), Narayana Pandit (ca. 1 370), Madhava de Sangamagramma
(ca. 1 340 - 1 425) y Nilakantha Somayaji (1 445 - 1 545). Aryabhata I, en un
libro que se titula Aryabhatiya, da una descripción del conocimiento científico
de la época, incluye un sistema de notación numérico alfabético, reglas de
operaciones en aritmética y trata procedimientos para resolver ecuaciones
simples y cuadráticas, y, también, ecuaciones indeterminadas de grado uno. Hay,
además, trigonometría, la que incluye las funciones seno, una función que se
llamaba seno verso que es igual al 1-coseno. Dio el valor de 3,1416 para Su
obra fue continuada por Varahanihira (ca. 505 - 587) y por Bhaskara (ca. 600).
Este último ofreció una solución de ecuaciones indeterminadas de primer grado,
que ejerció una importante influencia sobre Brahmagupta. Brahmagupta, en una
obra llamada Brahma Sputa Siddhanta, ofreció un método para la resolución de
ecuaciones indeterminadas de primero y segundo grados. En otra obra, Khanda
Khadyaka, en trigonometría dio un procedimiento para calcular los senos de ángulos
intermedios con base en una tabla dada de senos. Se dice que era equivalente a
la fórmula de Newton-Stirling hasta las diferencias de segundo orden. El primer
libro fue traducido por los árabes y luego por los europeos, con lo que así se
ofreció a Europa el conocimiento de la astronomía y matemáticas hindúes. Mahavira,
matemático y no astrónomo, sintetizó y amplió los resultados de Aryabhata,
Bhaskara y Brahmagupta. Se afirma que su obra Ganita Sara Samgraha es una
culminación de los trabajos y tradiciones de los jainistas. Por ejemplo, en las
permutaciones y combinaciones. Dio soluciones a varios tipos de ecuaciones de
segundo grado. Amplió el tema de la ecuaciones indeterminadas. Y trabajó en
geometría con triángulos rectángulos de lados racionales. Sridhara, en
Pataganita, ofreció un método para sumar series aritméticas y geométricas que
sería relevante posteriormente. Se considera una culminación de 500 años de
trabajos matemáticos la obra de Bhaskara II (llamado también Bhaskaracharya:
"maestro Bhaskara''), Lilavati. Un ejemplo, un método para resolver ecuaciones
indeterminadas de la forma (método "cíclico''). Este método fue redescubierto
por William Brouncker en 1 657. Se afirma que en su obra hay rastros de
análisis y cálculo infinitesimal. Se considera que Madhava de Sangamagramma fue
probablemente el más importante de los astrónomos medievales de la India.
La escuela de Kerala: Kerala es un territorio en el suroeste de la India. En la
década de 1 940, investigadores hindúes, con Rajagopal al frente, retomaron un
artículo escrito en 1 835 por Charles Whish, en el que se afirma la existencia
de importantes resultados en las matemáticas de Kerala, que formaron toda una escuela.
Cuatro obras señalaba Whish que eran las claves para la astronomía y las
matemáticas: Tantra Samgraha (Nilakantha), Yuktibhasa (Jyesthadeva), Karana
Paddhati (Putumana Somayaji) y Sadratnamala (Sankara Varman). Estas obras
incluían, según Whish, cálculo infinitesimal, series de Gregory y Leibniz para
la tangente inversa, series de potencias de Leibniz para y la de Newton para el
seno y el coseno (atribuidas a Madhava). Además, aproximaciones racionales a
funciones trigonométricas: la serie de Taylor, entre ellas. Estos últimos
resultados obtenidos sin usar el cálculo infinitesimal. Las series infinitas de
al parecer, estaban asociadas a la astronomía. Igual con los desarrollos para
las funciones trigonométricas. Es decir: para obtener tablas cada vez más
precisas para utilizar en los cálculos astronómicos. Tal era la precisión que
Madhava obtuvo valores correctos hasta la posición decimal 8 o 9. Esto sería
obtenido por los europeos 200 años después. Para algunos autores recientes, sus
trabajos podrían considerarlo el fundador del análisis matemático. En la India
existen otros temas matemáticos de interés. Por ejemplo, el estudio de series
aritméticas por medio de diagramas. Esta aproximación geométrica permitía
ofrecer cierto grado de convencimiento de los resultados.
Las matemáticas griegas
Se refieren a las matemáticas
escritas en griego (c. 600 a.C.- 450 d.C.). Los matemáticos griegos vivían en
ciudades repartidas por todo el Mediterráneo Oriental, de Italia al norte de
África, pero estaban unidos por la cultura y el idioma. Las matemáticas griegas
del período posterior a Alejandro Magno a veces se denominan matemáticas
helenísticas.
Thales of Miletus
Las matemática griega fueron
mucho más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas
anteriores. Todos los registros supervivientes de las matemáticas pre-griegas
muestran el uso del razonamiento inductivo, es decir, repetidas observaciones
son utilizadas para establecer "reglas de cajón" (sin rigor estricto)
. Los matemáticos griegos, por el contrario, utilizan el razonamiento
deductivo. Los griegos usan la lógica para obtener conclusiones a partir de
definiciones y axiomas.
Las matemáticas griegas se cree
que comenzaron con Tales (c. 624-c.546 a.C.) y Pitágoras (c.
582-c. 507 a.C.). Si bien el alcance de la influencia es objeto de
controversia, probablemente fueron inspirados por las ideas de Egipto,
Mesopotamia y quizá la India. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para
aprender las matemáticas, la geometría, la astronomía de los sacerdotes
egipcios.
Thales utilizó la geometría para
resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la
distancia de los barcos a la costa. A Pitágoras se le acredita la primera
demostración del teorema de Pitágoras, aunque el eunciado del teorema tiene una
larga historia. En su comentario sobre Euclides, Proclus afirma que
Pitágoras expresó el teorema que lleva su nombre y construyó ternas pitagóricas
algebraicamente en lugar de geométricamente. La Academia de Platón tenía el
lema "Qué nadie no versado en geometría entre aquí".
Los pitagóricos descubrieron la
existencia de números irracionales. Eudoxus (408-c.355 a.C.) desarrolló el
método de exhaución, precursor de la moderna integración. Aristóteles
(384-c.322 a.C.), fue el primero que escribió las leyes de la lógica.
Euclides (c. 300 a.C.) es el
primer ejemplo del formato usado en las matemáticas actuales: definición,
axioma, teorema, demostración. También estudió las cónicas. En su libro, "Los
Elementos", fue conocido por todas las personas cultas de Occidente hasta
mediados del siglo XX. Además de los conocidos teoremas de la geometría, como
el teorema de Pitágoras, "Los Elementos" incluyen una demostración de
que la raíz cuadrada de dos es irracional y que hay infinitos números primos.
La criba de Eratóstenes (ca. 230 a.C.) fue utilizada para descubrir
números primos.
Algunos dicen que el mayor de los
matemáticos griegos, sino de todos los tiempos, fue Arquímedes (c.287-212
a.C.), de Siracusa. Utilizó el método de exhaución para calcular el área bajo
el arco de una parábola mediante la suma de una serie infinita, y dio muy
precisas aproximaciones de Π. También definió la espiral que lleva su
nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un
ingenioso sistema para expresar números muy grandes.
El aporte de los griegos a las
matemáticas es considerado como el mayor avance de esta ciencia desde la
prehistoria hasta el renacimiento. Tales de Mileto, hacia el año 600 A.C., fue
el primero en desarrollar estudios científicos sobre la geometría; se le
atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el
razonamiento lógico.
Posteriormente Pitágoras funda la
escuela pitagórica a quien se les atribuyen numerosos descubrimientos
matemáticos, entre ellos la demostración del célebre teorema que lleva su
nombre. También clasificaron las matemáticas en cuatro grandes ramas: la
aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. Tuvo notoria
relevancia la Escuela de Alejandría, a la cabeza de Euclides, uno de los
matemáticos más influyentes en la historia, publicó su obra titulada Tratado de
los Elementos, cuyo contenido ha sido la base para grandes tratados sobre
matemáticas; su aporte fue fundamental en el campo de la geometría, ciencia de
la cual es considerado como el padre.
Igualmente hizo enormes aportes
Arquímedes, el mayor matemático de la antigüedad, se le atribuye el cálculo de
PI, por aproximaciones sucesivas, la determinación del volumen del cilindro y
la esfera, la cuadratura del segmento de la parábola; fue el precursor de la
mecánica y el cálculo integral. Finalmente, en los comienzos de la era
cristiana surge un nuevo periodo de florecimiento con la Segunda Escuela de
Alejandría, se destacan Nicomán, Tolomeo, Diafanito y Pappus entre otros. Luego
viene el decaimiento del imperio, los romanos se preocuparon poco por la
profundización de los logros alcanzados por los griegos y fueron los arabes
quienes se encargaron de recoger el testimonio de esta deslumbrante cultura.
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