lunes, 21 de septiembre de 2015
La india
La matemática hindúes tienen una
historia muy larga. Si bien el llamado periodo clásico, que arranca en el 500
d.C. es el mas importante, hay tradiciones que se remontan mas de 2000 anos
hacia atrás. Del periodo que va del 3000 al 1500 a.C. una referencia es la cultura
Harappā, con descubrimientos que salieron a la luz publica cuando se hicieron excavaciones
en los anos 1921 y 1923 en el Valle del Indo, con una característica especial:
el uso de ladrillos cocidos en hornos, que colocados en edificios parecieran sugerir
el uso de una base decimal.
Matemáticas védicas: Entre el 1 500 y el 800 a.C. se habla del periodo de las matemáticas
védicas. Los Vedas eran colecciones de literatura en las que, entre muchas
otras cosas, se encuentra matemática. Esto, en particular, en unos
"apéndices'' llamados Vedangas. Entre ellos, los Sulbasutras trataban de construcción
y medidas de altares sacrificiales, y aquí había geometría. Hubo 3 de ellos
relevantes para las matemáticas, escritos, respectivamente, por: Baudhayana, Apastamba
y Katyayana. El primero formula el teorema de Pitágoras, da un procedimiento
para calcular la correcta hasta la quinta cifra decimal, y diversas
construcciones geométricas. El segundo amplía estos temas. El último no añade
mucho. La geometría aquí provenía de la integración de orientación, forma y
área de los altares, según las prescripciones de los libros sagrados védicos.
Había resultados geométricos, procedimientos de construcción de altares y algoritmos.
El teorema de Pitágoras está incluido de la siguiente manera, por ejemplo, por Katyayana: "La soga (estirada a lo largo de la
longitud) de la diagonal de un rectángulo produce un (área) que producen
conjuntamente los lados horizontal y vertical''. En la construcción de un altar
aparecen varios tripletes pitagóricos, incluso con números irracionales.En las construcciones geométricas que planteaban, había cuadrados,
rectángulos, trapecios y círculos, que se debían construir con restricciones de
área. Un par de ejemplos: "Fusionar dos cuadrados iguales o desiguales
para obtener un tercer cuadrado'', "transformar un rectángulo en un cuadrado
de la misma área''. Las matemáticas
védicas incluyen aproximaciones a raíces cuadradas. Se presume que esto se originó
al intentar resolver el problema de construir un altar cuadrado que tuviera
como área el doble de un cuadrado dado.
El periodo clásico : Empezamos
citando algunos astrónomos y matemáticos: Aryabhata I (nació alrededor del 476 d.C.),
Brahmagupta (alrededor del 598), Mahavira (ca. 850), Sridhara (ca. 900),
Bhaskara (nació 1 114), Narayana Pandit (ca. 1 370), Madhava de Sangamagramma
(ca. 1 340 - 1 425) y Nilakantha Somayaji (1 445 - 1 545). Aryabhata I, en un
libro que se titula Aryabhatiya, da una descripción del conocimiento científico
de la época, incluye un sistema de notación numérico alfabético, reglas de
operaciones en aritmética y trata procedimientos para resolver ecuaciones
simples y cuadráticas, y, también, ecuaciones indeterminadas de grado uno. Hay,
además, trigonometría, la que incluye las funciones seno, una función que se
llamaba seno verso que es igual al 1-coseno. Dio el valor de 3,1416 para Su
obra fue continuada por Varahanihira (ca. 505 - 587) y por Bhaskara (ca. 600).
Este último ofreció una solución de ecuaciones indeterminadas de primer grado,
que ejerció una importante influencia sobre Brahmagupta. Brahmagupta, en una
obra llamada Brahma Sputa Siddhanta, ofreció un método para la resolución de
ecuaciones indeterminadas de primero y segundo grados. En otra obra, Khanda
Khadyaka, en trigonometría dio un procedimiento para calcular los senos de ángulos
intermedios con base en una tabla dada de senos. Se dice que era equivalente a
la fórmula de Newton-Stirling hasta las diferencias de segundo orden. El primer
libro fue traducido por los árabes y luego por los europeos, con lo que así se
ofreció a Europa el conocimiento de la astronomía y matemáticas hindúes. Mahavira,
matemático y no astrónomo, sintetizó y amplió los resultados de Aryabhata,
Bhaskara y Brahmagupta. Se afirma que su obra Ganita Sara Samgraha es una
culminación de los trabajos y tradiciones de los jainistas. Por ejemplo, en las
permutaciones y combinaciones. Dio soluciones a varios tipos de ecuaciones de
segundo grado. Amplió el tema de la ecuaciones indeterminadas. Y trabajó en
geometría con triángulos rectángulos de lados racionales. Sridhara, en
Pataganita, ofreció un método para sumar series aritméticas y geométricas que
sería relevante posteriormente. Se considera una culminación de 500 años de
trabajos matemáticos la obra de Bhaskara II (llamado también Bhaskaracharya:
"maestro Bhaskara''), Lilavati. Un ejemplo, un método para resolver ecuaciones
indeterminadas de la forma (método "cíclico''). Este método fue redescubierto
por William Brouncker en 1 657. Se afirma que en su obra hay rastros de
análisis y cálculo infinitesimal. Se considera que Madhava de Sangamagramma fue
probablemente el más importante de los astrónomos medievales de la India.
La escuela de Kerala: Kerala es un territorio en el suroeste de la India. En la
década de 1 940, investigadores hindúes, con Rajagopal al frente, retomaron un
artículo escrito en 1 835 por Charles Whish, en el que se afirma la existencia
de importantes resultados en las matemáticas de Kerala, que formaron toda una escuela.
Cuatro obras señalaba Whish que eran las claves para la astronomía y las
matemáticas: Tantra Samgraha (Nilakantha), Yuktibhasa (Jyesthadeva), Karana
Paddhati (Putumana Somayaji) y Sadratnamala (Sankara Varman). Estas obras
incluían, según Whish, cálculo infinitesimal, series de Gregory y Leibniz para
la tangente inversa, series de potencias de Leibniz para y la de Newton para el
seno y el coseno (atribuidas a Madhava). Además, aproximaciones racionales a
funciones trigonométricas: la serie de Taylor, entre ellas. Estos últimos
resultados obtenidos sin usar el cálculo infinitesimal. Las series infinitas de
al parecer, estaban asociadas a la astronomía. Igual con los desarrollos para
las funciones trigonométricas. Es decir: para obtener tablas cada vez más
precisas para utilizar en los cálculos astronómicos. Tal era la precisión que
Madhava obtuvo valores correctos hasta la posición decimal 8 o 9. Esto sería
obtenido por los europeos 200 años después. Para algunos autores recientes, sus
trabajos podrían considerarlo el fundador del análisis matemático. En la India
existen otros temas matemáticos de interés. Por ejemplo, el estudio de series
aritméticas por medio de diagramas. Esta aproximación geométrica permitía
ofrecer cierto grado de convencimiento de los resultados.
Las matemáticas griegas
Se refieren a las matemáticas
escritas en griego (c. 600 a.C.- 450 d.C.). Los matemáticos griegos vivían en
ciudades repartidas por todo el Mediterráneo Oriental, de Italia al norte de
África, pero estaban unidos por la cultura y el idioma. Las matemáticas griegas
del período posterior a Alejandro Magno a veces se denominan matemáticas
helenísticas.
Thales of Miletus
Las matemática griega fueron
mucho más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas
anteriores. Todos los registros supervivientes de las matemáticas pre-griegas
muestran el uso del razonamiento inductivo, es decir, repetidas observaciones
son utilizadas para establecer "reglas de cajón" (sin rigor estricto)
. Los matemáticos griegos, por el contrario, utilizan el razonamiento
deductivo. Los griegos usan la lógica para obtener conclusiones a partir de
definiciones y axiomas.
Las matemáticas griegas se cree
que comenzaron con Tales (c. 624-c.546 a.C.) y Pitágoras (c.
582-c. 507 a.C.). Si bien el alcance de la influencia es objeto de
controversia, probablemente fueron inspirados por las ideas de Egipto,
Mesopotamia y quizá la India. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para
aprender las matemáticas, la geometría, la astronomía de los sacerdotes
egipcios.
Thales utilizó la geometría para
resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la
distancia de los barcos a la costa. A Pitágoras se le acredita la primera
demostración del teorema de Pitágoras, aunque el eunciado del teorema tiene una
larga historia. En su comentario sobre Euclides, Proclus afirma que
Pitágoras expresó el teorema que lleva su nombre y construyó ternas pitagóricas
algebraicamente en lugar de geométricamente. La Academia de Platón tenía el
lema "Qué nadie no versado en geometría entre aquí".
Los pitagóricos descubrieron la
existencia de números irracionales. Eudoxus (408-c.355 a.C.) desarrolló el
método de exhaución, precursor de la moderna integración. Aristóteles
(384-c.322 a.C.), fue el primero que escribió las leyes de la lógica.
Euclides (c. 300 a.C.) es el
primer ejemplo del formato usado en las matemáticas actuales: definición,
axioma, teorema, demostración. También estudió las cónicas. En su libro, "Los
Elementos", fue conocido por todas las personas cultas de Occidente hasta
mediados del siglo XX. Además de los conocidos teoremas de la geometría, como
el teorema de Pitágoras, "Los Elementos" incluyen una demostración de
que la raíz cuadrada de dos es irracional y que hay infinitos números primos.
La criba de Eratóstenes (ca. 230 a.C.) fue utilizada para descubrir
números primos.
Algunos dicen que el mayor de los
matemáticos griegos, sino de todos los tiempos, fue Arquímedes (c.287-212
a.C.), de Siracusa. Utilizó el método de exhaución para calcular el área bajo
el arco de una parábola mediante la suma de una serie infinita, y dio muy
precisas aproximaciones de Π. También definió la espiral que lleva su
nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un
ingenioso sistema para expresar números muy grandes.
El aporte de los griegos a las
matemáticas es considerado como el mayor avance de esta ciencia desde la
prehistoria hasta el renacimiento. Tales de Mileto, hacia el año 600 A.C., fue
el primero en desarrollar estudios científicos sobre la geometría; se le
atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el
razonamiento lógico.
Posteriormente Pitágoras funda la
escuela pitagórica a quien se les atribuyen numerosos descubrimientos
matemáticos, entre ellos la demostración del célebre teorema que lleva su
nombre. También clasificaron las matemáticas en cuatro grandes ramas: la
aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. Tuvo notoria
relevancia la Escuela de Alejandría, a la cabeza de Euclides, uno de los
matemáticos más influyentes en la historia, publicó su obra titulada Tratado de
los Elementos, cuyo contenido ha sido la base para grandes tratados sobre
matemáticas; su aporte fue fundamental en el campo de la geometría, ciencia de
la cual es considerado como el padre.
Igualmente hizo enormes aportes
Arquímedes, el mayor matemático de la antigüedad, se le atribuye el cálculo de
PI, por aproximaciones sucesivas, la determinación del volumen del cilindro y
la esfera, la cuadratura del segmento de la parábola; fue el precursor de la
mecánica y el cálculo integral. Finalmente, en los comienzos de la era
cristiana surge un nuevo periodo de florecimiento con la Segunda Escuela de
Alejandría, se destacan Nicomán, Tolomeo, Diafanito y Pappus entre otros. Luego
viene el decaimiento del imperio, los romanos se preocuparon poco por la
profundización de los logros alcanzados por los griegos y fueron los arabes
quienes se encargaron de recoger el testimonio de esta deslumbrante cultura.
La matemática en china
En China (212 a.C.), el emperador Qin Shi Huang (Shi
Huang-ti) ordenó quemar todos los libros fuera del estado de Qin. Esta orden no
fue obedecida del todo, pero como consecuencia de ella, es poco lo que se
conoce con certeza acerca de las matemáticas de la China antigua.
De la Dinastía Zhou Occidental (desde 1046 a.C.), el trabajo
matemático más antiguo que sobrevivió a la quema de libros es el "I
Ching", que utiliza las 8 ternas binarias (trigrams) y 64 6-tuplas
binarias (hexagrams) con propósitos filosóficos, matemáticos, y/o místicos. Las
uplas binarias se componen de lineas discontinuas y continuas, llamadas Yin
"femenino" y Yang "masculino", respectivamente.
El trabajo más antiguo existente sobre geometría en China
proviene de la filosofía Mohista (c. 330 a.C.), compilado por los seguidores de
Mozi (470 a.C.-390 a.C.). El Mo Jingdescribe diversos aspectos de muchos
campos relacionados con la ciencia física, y proporcionó también un pequeño
cúmulo de información sobre las matemáticas.
Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 a.C.-220
d.C) produjo obras matemáticas que presumiblemente se ampliaron en otras que
ahora están perdidas. La más importante de ellas es Los Nueve Capítulos
sobre el Arte de Matemáticas, cuyo título completo apareció en 179 d.C., pero
que previamente existió, en parte, bajo otros títulos. Se compone de 246
problemas de palabra, que tocan la agricultura, los negocios, el empleo de la
geometría en la construcción de las torres de la pagoda china, la ingeniería, la
agrimensura, e incluye material sobre triángulos rectángulos y π. También
hizo uso del principio de Cavalieri sobre volumenes, más de un millar de años
antes de que Cavalieri lo propusiera en Occidente. Creó una demostración del
teorema de Pitágoras, y la fórmula matemática para el método de reducción
de Gauss. El trabajo fue comentado
por Liu Hu en el siglo 3º d.C.
Además, los trabajos matemáticos del astrónomo e inventor
Zhang Heng (78-139 d.C.) de la dinastia Han, tenían una formulación de π,
que difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng utilizó su fórmula de π para
hallar el volumen de la esfera. También, el trabajo escrito del matemático y
teórico de la música Jing Fang (78-37 a.C.) quien, mediante el uso de
la coma pitagórica, observó que 53 quintas perfectas se aproximan a 31
octavas. Esto daría lugar posteriormente al descubrimiento de los 53
temperamentos iguales, y no se calculó con precisión hasta que el alemán
Nicholas Mercator, lo hiciera en el siglo XVII.
Zu Chongzhi (siglo V), de las Dinastías del Sur y del Norte,
calculó el valor de π con siete decimales, que fue el más preciso
valor de π durante casi 1000 años.Los chinos también hicieron uso del
diagrama de combinatoria complejo conocido como el cuadrado mágico y
los círculos mágicos que se describían en los tiempos antiguos y que
perfeccionó Yang Hui (1238-1398 d.C.).
En los mil años siguientes a la dinastía Han, empezando con
la dinastía Tang y terminando con la dinastía Song, las matemáticas chinas
florecieron en un momento en que las matemáticas europeas no existían.
Desarrollos hechos por primera vez en China, y sólo mucho más tarde conocidos
en Occidente, incluyen los números negativos, el teorema binomial, métodos
matriciales para resolver sistemas de ecuaciones lineales y el Teorema del
resto chino. Los chinos también desarrollaron el triángulo de Pascal y la regla
de tres mucho antes de que se conocíera en Europa. Además de Zu Chongzhi,
algunas de las figuras más importantes de la matemática china durante este
período incluyen a Xing Yi, Shen Kuo, Qin Jiushao, Zhu Shijie, y otros. El
científico Shen Kuo utilizó problemas referentes al cálculo, la trigonometría,
la metrología, las permutaciones y, una vez calculó la cantidad posible de
terreno que podría utilizarse con formaciones de batalla específicas, así como
la más larga campaña militar posible, dada la cantidad de alimento que los
transportistas podrían llevar para ellos y los soldados.
Incluso después de que la matemática europea comenzara a
florecer durante el Renacimiento, las matemáticas europeas y chinas fueron
tradiciones separadas, con un declive significativo de la producción de las
matemáticas chinas, hasta que los misioneros jesuitas, como Matteo Ricci
llevaron las ideas matemáticas de ida y vuelta entre las dos culturas desde el
siglo XVI al XVIII.
Aportes de la china
La matemática china era, al igual que su lengua,
extremadamente concisa. Estaba basada en problemas; motivada por problemas en
el calendario, en los negocios, en la medida de las tierras, en la
arquitectura, en los archivos gubernamentales y en los impuestos. Alrededor del
siglo IV a.C. se empleaban los ábacos para calcular, lo que significa que se
usaba un sistema numérico decimal. Merece la pena destacar que los ábacos son
únicamente chinos y no parecen haber sido utilizados por ninguna otra
civilización.
Nuestro conocimiento de las matemáticas chinas antes del 100
a.C. es muy limitado a pesar del descubrimiento en 1984 del Suan shu shu (Un
libro de aritmética), un texto fechado en los alrededores del año 180 a.C. Está
escrito en tiras de bambú y se encontró cerca de Jiangling, en la provincia de
Hubei. Los siguientes libros en importancia de los que tenemos conocimiento son
el trabajo de dieciséis capítulos Suanshu (Recetas de conteo) escrito por Du
Zhong y el texto de veintiséis capítulos Xu Shang suanshu (Recetas de conteo de
Xu Shang) escrito por Xu Shang. Ninguno de ellos ha sobrevivido y poco sabemos
de su contenido. El texto más antiguo que se conserva en su totalidad es el
Zhoubi suanjing (Manual de relojes de Sol de Zhou) compilado entre los años 100
a.C. y 100 d.C. (ver el artículo sobre los Diez clásicos). Es un texto de
astronomía que muestra cómo medir las posiciones de los cuerpos celestes
utilizando relojes de Sol llamados también gnomones, pero contiene importantes
secciones de matemáticas. Proporciona una clara información sobre la naturaleza
de las matemáticas chinas en este período (ver por ejemplo :
El método de cálculo es muy simple de explicar pero tiene
una amplia aplicación. Esto es porque una persona gana conocimiento mediante la
analogía, esto es: tras la comprensión de una línea particular de argumentación
se pueden inferir varios tipos de razonamientos similares ... Cualquiera puede
inferir sobre otros casos para generalizar ... en realidad sabe como calcular
... ser capaz de deducir y después generalizar ... es la marca que identifica a
una persona inteligente.
El Zhoubi suanjing contiene una descripción de la regla de
Gougu (la versión china del Teorema de Pitágoras) y la aplica a la vigilancia,
astronomía, y otras materias. Aunque es ampliamente aceptado que el trabajo
contiene una prueba del Teorema de Pitágoras, Cullen en lo discute,
afirmando que esta creencia se basa en un error de traducción de Needham en.
De hecho, gran parte de las matemáticas chinas de este
período proceden de la necesidad de calcular el calendario y predecir las
posiciones de los cuerpos celestes. La palabra china choren se refiere tanto a
matemáticos como a astrónomos mostrando la cercanía que había entre las dos
áreas. Un primitivo choren fue Luoxia Hong (aproximadamente entre el 130 a. de
C. y el 70 a. de C.) que creó un calendario basado en un ciclo de 19
años.
El libro chino sobre matemáticas más famoso de todos los
tiempos es el Jiuzhang suanshu o, como se le llama de forma común: Nueve
capítulos del arte matemático. El libro contiene contribuciones matemáticas
añadidas durante un largo período y queda poco del texto original como para
poder identificar a que época pertenece cada una de ellas. Este importante
trabajo que dominó el desarrollo matemático y su estilo durante 1500 años lo
discutiremos en el artículo Nueve capítulos del arte matemático. Muchos
desarrollos posteriores se hicieron mediante comentarios a este texto; uno de
los primeros, perdido en la actualidad, fue el de Xu Yue (alrededor del 160 -
alrededor del 227).
Liu Hui (alrededor del 220 - alrededor del 280) hizo un
importante avance matemático en un comentario al Jiuzhang suanshu o Nueve
capítulos del arte matemático alrededor del 263. Dong y Yao escriben :
Liu Hui, gran matemático de la dinastía Wei Jin Dynasty,
apareció en una época de teorización matemática en la antigua China, y
contribuyó de gran manera a la materia. Entre el 'Jiu Zhang Suan Shu Zhu' y el
'Hai Dao Suan Jing' es posible ver que Liu Hui hizo un hábil uso del
pensamiento en imágenes al igual que en forma lógica y dialéctica. Resolvió
muchos problemas matemáticos, llevando su razonamiento matemático más allá de
la dialéctica.
Liu Hui proporcionó un acercamiento más matemático que los
textos chinos primitivos, creando principios en los cuales se basaron sus
cálculos. Encontró aproximaciones al uso de polígonos regulares con 3 × 2n
lados inscritos en un círculo. Su mejor aproximación de lo que era 3,14159 la
obtuvo de un polígono regular de 3072 lados. Está claro que comprendía el
proceso iterativo y la noción de límite. Liu escribió también Haidao suanjing o
Manual de matemáticas de la isla marina (ver el artículo en Diez clásicos) que
fue originariamente un apéndice a su comentario al capítulo 9 de los Nueve
capítulos del arte matemático. En él, Liu emplea el Teorema de Pitágoras para
calcular la altura de objetos y la distancia a esos objetos que no se pueden
medir directamente. Este fue uno de los principales temas de las matemáticas
chinas.
Unos cincuenta años después de las importantes
contribuciones de Liu, se hizo un importante avance en el campo de la
astronomía cuando Yu Xi descubrió la precisión de los equinoccios. En
matemáticas pasó tiempo antes de que los matemáticos consiguieran superar la
profundidad conseguida por Liu Hui. Por ejemplo, Sun Zi (alrededor del 400 -
alrededor del 460) escribió su manual matemático, Sunzi suanjing que realmente
incluía pocas novedades. Sin embargo contiene un problema resuelto mediante el
teorema chino del residuo, conocido como la más temprana ocurrencia de este
tipo de problema.
Este texto de Sun Zi fue el primero de una serie en los
siguientes doscientos años que hicieron un importante número de contribuciones.
Xiahou Yang (alrededor del 400 - alrededor del 470) se supone fue el autor del
Xiahou Yang suanjing (Manual matemático de Xiahou Yang) que contiene
representaciones de números en notación decimal usando potencias de diez
positivas y negativas. Zhang Qiujian (alrededor del 430 - alrededor del 490)
escribió su texto matemático Zhang Qiujian suanjing (Manual matemático de Zhang
Qiujian) en algún momento entre el 468 y el 486. Sus 92 problemas ilustran la
fórmula para sumar una progresión aritmética. Su fama viene de presentar el
problema 'de las cien gallinas', un problema indeterminado con tres soluciones
no triviales.
Uno de los avances más significativos vino de Zu Chongzhi
(429-501) y de su hijo Zu Geng (alrededor del 450 - alrededor del 520). Zu
Chongzhi fue un astrónomo que hizo observaciones precisas que utilizó para
crear un nuevo calendario, el Tam-ing (Calendario de la gran luz), basado en un
ciclo de 391 años. Escribió el Zhui shu (Método de interpolación) en el que
demostró que 3,1415926 < π < 3,1415927. Recomendó utilizar 355/113 como buena
aproximación y 22/7 en un trabajo menos exacto. Con su hijo Zu Geng calculó la
fórmula para el volumen de la esfera usando el Principio de Cavalieri (ver
[25]). Los comienzos del álgebra china se ven en el trabajo de Wang Xiaotong
(alrededor del 580 - alrededor del 640). Escribió el Jigu suanjing
(Continuación de las matemáticas antiguas), un texto con 20 problemas que más
tarde se convertiría en uno de los Diez clásicos. Resolvía ecuaciones cúbicas
extendiendo un algoritmo para encontrar raíces al cubo. Su trabajo es
considerado como un primer paso hacia el tian yuan o 'método de arreglos de
coeficientes' o 'método de la incógnita celeste' de Li Zhi para cálculos con
polinómios.
La interpolación fue una herramienta muy importante en
astronomía y Liu Zhuo (544-610) fue un astrónomo que introdujo la interpolación
cuadrática con un método de diferencia de segundo orden. La astronomía china no
era totalmente independiente de los desarrollos que tenían lugar en India y las
matemáticas también se veían influidas en cierta medida por los trabajos
matemáticos indios, ya que algunos fueron traducidos al chino. Hoy en día los
historiadores discuten sobre la influencia de las matemáticas indias, árabes e
islámicas sobre la China. Es fácil decir que su influencia fue menor de la que
debía haber sido, ya que los chinos parecían tener pocos deseos en aceptar
otros acercamientos a las matemáticas. La trigonometría temprana era descrita
en algunos textos indios que fueron traducidos y también hubo algo de
desarrollo de trigonometría en China. Por ejemplo Yi Xing (683-727) creó una
tabla de tange
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