SIGLO XVIII

Cálculo: En cuanto a los matemáticos en el mundo británico del siglo XVIII después de Newton, el más importante fue Colin  Maclaurin, quien fue profesor de la Universidad de Edimburgo, Escocia, discípulo directo de Newton. Al igual que en el continente con Euler o Clairaut, Maclaurin trabajó en la extensión de los métodos diferenciales, las curvas de segundo y órdenes superiores, la atracción de los elipsoides de revolución; también trabajó en geometría proyectiva, métodos cinemáticos para describir curvas planas de diferentes grados, etc. Dos de su obras: Geometria organica (1720) y Tratado sobre fluxiones (2 volúmenes, 1742). En este último aparece la famosa "serie de Maclaurin'' que en realidad había sido introducida por Brook Taylor en 1715. Las "series de Taylor'' fueron aplicadas por Euler en 1755. Taylor también estudió el problema de la cuerda vibrante. Asunto de gran importancia para la historia de las matemáticas en Gran Bretaña fueron las consecuencias de la confrontación entre Newton y Leibniz. La escuela Newtoniana en Inglaterra y la de Leibniz se separaron de una manera muy profunda, que hizo que se generara un estancamiento en las islas británicas en relación con las matemáticas que se desarrollaban en el continente. En particular, como señala Bell: "La lealtad patriótica hacia Newton ocultó a los matemáticos ingleses la evidente superioridad de la notación de Leibniz sobre los puntos de Newton, y...; el resultado fue que a principios del siglo XVIII Suiza y Francia quedaron a la cabeza de las matemáticas. Los herederos científicos de Newton fueron los matemáticos del continente, no sus paisanos. Finalmente, en 1820, los matemáticos jóvenes de Cambridge se dieron cuenta de que sus reaccionarios mayores no honraban la memoria de Newton con su obstinado nacionalismo, y adoptaron las mejoras llevadas al cálculo por los del continente, e introdujeron la geometría analítica y la notación de Leibniz en los exámenes. Cambridge revivió matemáticamente. Mientras que Alemania y Francia tuvieron un gran dominio en el análisis y la geometría, fue en las islas británicas donde se darían los resultados más importantes en el álgebra, excepto por la teoría de grupos.

Integrales múltiples: En relación a la integración múltiple, parece claro que, aunque anteriormente se habían utilizado algunas integrales múltiples de tipo geométrico y físico, fue Euler el que tuvo una idea clara sobre el sindicado de las integrales dobles extendidas a un recinto plano limitado por arcos, y dio el método para calcularlas. Al final del siglo, LaGrange y Laplace (1749-1827) introdujeron las integrales múltiples en general y estudiaron el cambio de variable en ellas, rápidamente fueron construidas integrales elípticas indefinidas, la función gama y otras más.

 Ecuaciones en derivadas parciales: Fue también en el siglo XVIII que se desarrolló el cálculo en funciones de dos y tres variables. Aunque Newton, Jean y Nicolaus Bernoulli habían realizado la diferenciación en funciones de 2 variables, la teoría fue plenamente desarrollada por varios matemáticos: Alexis Fontaine de Bertins (1705 - 71), Euler, Clairaut y d'Alembert. Al principio se usó el mismo signo d para expresar la derivada. La idea era simple: efectuar la derivada sobre una variable dejando como constantes las otras. La derivación "parcial'' (para una variable) tuvo mucha relevancia en las ecuaciones diferenciales. En relación con asuntos de hidrodinámica, en los que aparecían las ecuaciones diferenciales, Euler hizo un amplio tratamiento de la derivación parcial. En 1734, por ejemplo, Euler mostraba que si z= f(x,y) entonces  (d^2)z/ dxdy = (d^2)z/ dydx. Entre 1744 y 1745, d'Alembert extendió el cálculo de las derivadas parciales (trabajando en dinámica).

Algebra: Con ideas hasta cierto punto anticipadas por Lagrange y por el italiano Ruffini, Galois creó la teoría de grupos, fundamento del álgebra moderna y de la geometría moderna. Ya desarrollaremos estos detalles.

Él consideró las propiedades fundamentales del grupo de transformaciones que pertenecía a las raíces de una ecuación algebraica y estudió el papel de algunos subgrupos invariantes. Sus publicaciones tuvieron una vida también difícil: aunque en la École había publicado 4 artículos, en 1829 sometió dos a la Academia de Ciencias pero éstos fueron perdidos por Cauchy; otro el año siguiente enviado a Fourier corrió suerte similar porque este último matemático se murió.

Geometría: Gaspard Monge se suele caracterizar como el primer especialista en geometría. Creó los fundamentos de la geometría proyectiva y, además, contribuyó a la geometría diferencial y analítica. Sus obras principales fueron: Géométrie descriptive (1795 - 1799) y Application de l'analyse à la géométrie (1809). El primer libro condensaba las lecciones que Monge había dado en la École Normale, otra institución formativa, aunque con un menor nivel que la Polytechnique. Monge desarrolló la geometría analítica en tres dimensiones. Por ejemplo, hizo un estudio sistemático de la recta en el espacio tridimensional, estudió los parámetros de dirección de una recta, la distancia de un punto a una recta, la distancia entre dos rectas, etc. Uno de sus resultados, para dar un ejemplo: "Los planos trazados por los puntos medios de las aristas de un tetraedro y respectivamente perpendiculares a la arista opuesta, se cortan en un punto M que recibe el nombre de 'punto de Monge' del tetraedro. Este punto M es además el punto medio del segmento que une al baricentro y el circuncentro del tetraedro. ''

Teoría de números: En la teoría de los números hizo contribuciones muy importantes. Su Essai sur la Théorie des nombres fue el primer tratado exclusivamente de teoría de números. En éste incluyó un resultado sobre las congruencias, que es muy famoso: Cuando al tenerse que si p y q son dos enteros  entonces existe otro número entero x tal que (x^2) - 9 es divisible por p, se dice que q es un residuo cuadrático de p. Entonces, dados y son primos impares, (x^2)= q (modp) y (x^2)=p (modq)  son solubles a la vez o insolubles, salvo que p y q  sean de la forma 4n+ 3. En este último caso, una de las congruencias es soluble y la otra no lo es. También Legendre en este mismo tratado hizo la conjetura que afirma que p(n), el número de primos menores que el natural n  tiende a: n/ ln(n)-1.08366. En 1825, ofreció un resultado sobre el último teorema de Fermat: una demostración de su insolubilidad para n=5.

Probabilidad: En lo que se refiere a las probabilidades, Laplace partía de la premisa de que éstas tenían sentido debido a que medio conocemos y medio desconocemos la realidad circundante. Lo señala con claridad:

"La probabilidad se relaciona, en parte, con esta ignorancia, en parte con nuestros conocimientos. Sabemos que de tres o más acontecimientos uno solo puede ocurrir, pero nada nos induce a creer que uno de ellos ocurrirá con preferencia a los otros. En este estado de indecisión nos es imposible predecir su acaecimiento con certeza. No obstante es probable que uno de estos acontecimientos, tomado arbitrariamente, no ocurra, porque vemos muchos casos igualmente posibles que excluyen su acaecimiento, mientras que sólo uno lo favorece.

La teoría del azar consiste en reducir todos los acontecimientos de la misma índole a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, tales que estemos igualmente inseguros de su acaecimiento, y en determinar el número de casos favorables al acontecimiento cuya probabilidad se indaga. La razón de este número con la de todos los casos posibles es la medida de la probabilidad, que no es más que una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número total de casos posibles''.

tomado de https://books.google.com.co/books?id=Q7gc9S63WDYC&pg=PA319&lpg=PA319&dq=Fue+tambi%C3%A9n+en+el+siglo+XVIII+que+se+desarroll%C3%B3+el+c%C3%A1lculo+en+funciones+de+dos+y+tres+variables.+Aunque+Newton&source=bl&ots=7MN-xvl2Zd&sig=1kpxOuAofaoiOZkQnd7HbQ5pvwM&hl=es-419&sa=X&ved=0CBsQ6AEwAGoVChMItsba0rTlyAIVh7IeCh2a4g3A#v=onepage&q=Fue%20tambi%C3%A9n%20en%20el%20siglo%20XVIII%20que%20se%20desarroll%C3%B3%20el%20c%C3%A1lculo%20en%20funciones%20de%20dos%20y%20tres%20variables.%20Aunque%20Newton&f=false

Historia del cálculo diferencial

Historia del cálculo integral

EULER

SIGLO XVIII

SIGLO XVII

Los logaritmos: Puede decirse que el resultado más relevante de la aritmética de los siglos XVI y XVII fueron los logaritmos. Aparentemente, fue Stifel el primero en notar la correspondencia entre los términos de la sucesión geométrica 1,s,(s^2),(s^3)  y aquellos de la progresión aritmética formada por sus exponentes: 0, 1, 2, 3, 4,.... Al multiplicarse dos términos de la geométrica, el exponente del nuevo término así formado es la suma de los términos correspondientes en la aritmética. La división en la geométrica da la resta en la aritmética. También Chuquet había notado esto (1484). Pero fue John Napier (1550 - 1617) quien desarrolló los logaritmos, casi al terminar el siglo XVI, analizando la correspondencia entre las dos progresiones. Su motivación era, como era común en toda esta época, facilitar cálculos en trigonometría esférica que se usaba en asuntos de astronomía (de hecho, considera logaritmos de senos). Napier envió en consulta sus resultados al gran astrónomo Tycho Brahe. Dos obras condensan esos resultados: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio y Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, de 1614 y 1619 respectivamente. Otro matemático que trabajó con logaritmos fue Henry Briggs (1561 - 1631), quien sugirió el 10 como base, simplificando las cosas, y creó tablas de logaritmos para números cercanos que todavía tienen alguna utilidad. Un tratamiento similar al de Napier fue realizado por el suizo Joost Bürgi (1552 - 1632) quien, para que se aprecie la conexión astronómica, fue asistente de Kepler en Praga. Tiempo después se construyeron otras tablas de logaritmos por vía algebraica, incluso usando series infinitas: James Gregory, Lord Brouncker, Nicholas Mercator, John Wallis y Edmond Halley ("padre'' del famoso cometa Halley).

John Napier nació en 1 550, en Merchiston, Edinburgo, Escocia. En 1 563, John inició sus estudios en la Universidad de St. Andrews a la edad de trece años y fue aquí donde surgió su interés en la teología. No recibió su título en esa universidad porque partió hacia Europa a estudiar. No se sabe con exactitud en qué universidades estudió en Europa, pero es muy probable que lo haya hecho en la Universidad de Paris.  En 1 571, regresó a Escocia a presenciar el segundo matrimonio de su padre. En 1 574, se completó la construcción del castillo de la familia en Gartness y John se fue a vivir ahí con su esposa. Fue un hombre que desempeñó un papel activo en el ambiente controversial de su época. Como fiel protestante, escribió en 1 593, lo que sería su trabajo más importante: un libro acerca del descubrimiento de la revelación. El libro le hizo famoso no sólo en Escocia, sino también en el resto del continente, al ser éste el primer libro en Escocia que trataba sobre la interpretación de la Biblia. Su contribución a las matemáticas significó un pasatiempo para él, ya que con frecuencia se encontraba trabajando en sus estudios de teología. Uno de sus más reconocidos logros fue la invención de los logaritmos. Murió el 4 de abril de 1 617 en Edimburgo, Escocia.  

 La geometría analítica: Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez en 1637 como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de le corresponde un punto en un plano. Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores. Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.

La idea central de toda la Geometría Analítica consiste en establecer un vínculo entre objetos geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una interpretación geométrica. La idea de establecer este nexo permite por un lado, representar en forma algebraica objetos puramente geométricos, con lo cual todo el arsenal de herramientas del álgebra se puede aplicar a la geometría.

Breve Biografía de RENE DESCARTES (1596-1650)

Descartes fue considerado el primer hombre moderno por su pensamiento. Pertenecía a la nobleza francesa. Estaba muy interesado en las matemáticas, la ciencia y la filosofía, y decidió combinar sus propósitos intelectuales con los viajes. Pasó varios años viajando por Europa, frecuentemente como caballero voluntario en diversos ejércitos. Fue un militar francés de fortuna, un matemático y un filósofo. La Iglesia Católica Romana del siglo XVII discrepaba con las enseñanzas de los filósofos naturalistas, quienes aseguraban que el cuerpo humano operaba, en gran medida, igual que una máquina. Esto sugirió a algunos que la mente, como el cuerpo, quizás obedeciera también la ley natural. Descartes "resolvió" este problema reformulando las enseñanzas de Tomás de Aquino, acercando la importancia del libre albedrío, y aseverando que si bien es cierto que el cuerpo opera en gran parte como una máquina, la mente pertenece al alma, y no está sujeta a las leyes de causa y efecto. Esta es la doctrina del dualismo, para la cual cuerpo y mente son sustancias netamente definidas.

 Una de las más célebres declaraciones de Descartes fue: Cogito ergo sum, que significa: "Pienso, luego existo". A raíz de su énfasis en la primacía del pensamiento, puede decirse que Descartes prefiguró la posterior importancia asignada en psicología a la cognición.

 También argumentó que debía existir un universo externo al Yo pensante, un universo no opaco a las facultades cognoscitivas del hombre. Escribe el famoso libro "Discurso del método" (1637), donde expone que podemos dudar de todo (de lo que percibimos), pero de una cosa no podemos dudar, de que estoy dudando; y si estoy dudando es que pienso, y si pienso es que existo. De aquí su famosa frase "pienso, luego existo" (cogito ergo sum).

La teoría de números: probablemente la obra de Diofanto resultaba demasiado poco práctica para los matemáticos aplicados, y demasiado algorítmica y combinados pero lo cierto es que llamo fuertemente la atención de Fermat, que posiblemente gracias a ellos se convirtió en el creador de la moderna teoría de números. Muchos de los aspectos del tema le fascinaron, incluidos los números perfectos y amigos, los números figurados, los cuadrados mágicos, las ternas pitagóricas, la teoría de divisibilidad y sobre todo, los números primos, algunos de sus teoremas los demostró por un método que el mismo llamo de <<descenso infinito>>, una cierta forma de inducción matemática a la inversa, procedimiento  que Fermat fue de los primeros en utilizar. Para ilustrar la aplicación de descenso infinito, veamos, un ejemplo en la demostración de un hecho bien conocido desde antiguos, el de que Ö3 no es un número racional

Geometría: El tratamiento de las cónicas por Descargues encierra una gran belleza, a pesar de que el lenguaje que utiliza es francamente exótico. A una sección cónica le la un coup de rouleau, es decir, algo así como  <<golpe de rodillo>>, casi el único de sus muchos términos nuevos que ha sobrevivido hasta nosotros, es la palabra de distancias a otro fijo es una constante

Teoría de ecuaciones: A principio del siglo XVI, a través de los textos de Fibonacci e incluso la summa de Arithmetica, Geometría proportioni te proportionalita de Luca Pacioli, la ciencia y la cultura  de influencia italiana tuvieron acceso a la esencia del saber árabe. El comienzo de una verdadera teoría de ecuaciones se atribuye generalmente a Viete, matemático   francés de finales del siglo XVI. Si bien todavía se niega a incorporar los avances de Bombelli, es decir, los números negativos imaginarios, el resultado más celebrado es probablemente lo que actualmente se califica de cálculo utilizado letras.

Viete introdujo una segunda categoría de letras para los coeficientes. Estos son también valores que se consideran como fijados, incluso si no se les  conoce, es el que ahora se llama un parámetro, el segundo aporte de Viete consiste en el desarrollo de un lenguaje simbólico que permita expresar de forma simple cualquiera expresión polinómicas.

Nacimiento del cálculo: Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes fueron quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos,  la unidad algoritmo y la precisión necesario como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Esto desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, etc.

Entre los cálculos que se realizaban estaban:

·        Encontrar  la tangente a una curva en un punto

·        Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad

·        Encontrar la longitud de una curva, el area de una región y el volumen de un solido

·        Dada una formula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier  tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente dada una formula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un periodo de tiempo conocido.

Ecuaciones Diferenciales: El nacimiento de las ciencias de ecuaciones diferenciales se fijaría el 1 de noviembre de 1675, cuando Leibnitz asentó en un papel la ecuación integral de y diferencial de e igual a la mitad del cuadrado de y. En símbolos de  Leibnitz  ò ydy = (y^2)/2.

Newton formulo la ley de la gravitación, resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales correspondientes para probar que la tierra se mueve alrededor del sol,  describiendo aproximadamente una elipse, uno de cuyos focos es el sol, las ecuaciones diferenciales han cumplido un rol destacado en el desarrollo de las teorías y su implementación en la radio, radar, televisión , electricidad general.

Probabilidad: La definición de probabilidad surge debido al deseo del ser humano por conocer con certeza los eventos que sucederán en el futuro. Es por eso que a través de la historia  se han desarrollados diferentes enfoques para tener un concepto de la probabilidad y determinar sus valores.

Pierre Simón (1774) hizo el primer invento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de los principios de las teorías de las probabilidades, representando la ley de probabilidad de error con una curva y=f(x), siendo x cualquier error e (y)  su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:

·        Es simétrica al eje y

·        El eje x es asíntota, siendo la probabilidad del error ¥ igual a 0

·        La superficie cerrada es 1,  haciendo cierta la existencia de un error.

   tomado de https://books.google.com.co/books?id=Q7gc9S63WDYC&pg=PA210&lpg=PA210&dq=Los+logaritmos:+Puede+decirse+que+el+resultado+m%C3%A1s+relevante+de+la+aritm%C3%A9tica+de+los+siglos+XVI+y+XVII+fueron+los+logaritmos.&source=bl&ots=7MN-xvl4-g&sig=CiVjzFI4qLh8fQHv8Z-5ZhnTeJE&hl=es-419&sa=X&ved=0CBsQ6AEwAGoVChMIx__-vLXlyAIVgbgeCh3hLwH0#v=onepage&q=Los%20logaritmos%3A%20Puede%20decirse%20que%20el%20resultado%20m%C3%A1s%20relevante%20de%20la%20aritm%C3%A9tica%20de%20los%20siglos%20XVI%20y%20XVII%20fueron%20los%20logaritmos.&f=false , https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_ecuaciones , https://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad , http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm