Matemática siglo XVII

Matemáticas siglo XVII

SIGLO XVII

RESUMEN

PRELUDIOS A LA MATEMÁTICA MODERNA

  1.    Francois Viete: El álgebra árabe había sido no solo asimilada sistemáticamente, sino mejorada de una manera con la resolución de cubica y la cuadrática. Cierto simbolismo y la trigonometría se convierte en disciplina independiente. Había maduración en la época para llevar a cabo avances para superar contribuciones antiguas medievales y renacentistas. Viete: es la figura central y la más brillante de la transición  Europea fue el francés Francois Viete (1540-1603). No era lo que podía llamar un matemático profesional, estudio derecho, fue miembro del  parlamento de Bretaña, nombrado miembro del consejo real, sirvió a Enrique III , Viete solo se dedico a las matemáticas en sus ratos de ocio hizo  importantes contribuciones a la aritmética, álgebra, trigonometría y geometría, Viete cayo políticamente y se dedico a estudios matemáticos.

   2.     El concepto de parámetro: Viete hizo importantes contribuciones al algebra y se aproximo a un punto de vista modernos << la cosa>> en una ecuación con coeficiente numérico concretos, se introdujo algunos símbolos  para representar una incógnita y las primeras potencias de esa misma incógnita, , un geómetra podía representar una figura y llamarla ABC, pero un algebrista en cambio no disponía de ningún recurso para escribir una ecuación general de segundo grado que incluye a todas. Viete propuso utilizar  una vocal para representar una  cantidad desconocida o indeterminada  y una consonante para representa la magnitud o un numero que se supone conocido o  dado y se observa la distancia entre concepto de parámetro y la idea de incógnita.

   3.    El arte analítica: Se utilizo el simbolismo y escritura, las ecuaciones cuadráticas de forma   B(A^2)+CA+D=0 donde A es la incógnita y B,C,D son parámetros, la multiplicación representada por la partícula m, la división indicada por medio de líneas de fracción; para la igualdad abreviada de la palabra aequalis, Viete dice que en vez de razonar de lo que se conoce a lo que hay que demostrar(Razonar invariablemente a partir de las hipótesis). 

    4.     Las relaciones entre las raíces  y los coeficientes en una ecuación: Viete propuso un nuevo enfoque de la resolución de la cubica, una vez que se reduce a la forma canónica del tipo   (x^3)+3ax=b introducida una nueva incógnita y relacionada con la x por medio de la ecuación   (y^2)+xy=a y  este cambio transforma la cubica en x en ecuaciones cuadráticas en  (y^3) , Viete comprobó que si la ecuación  (x^3)+b=3ax  tiene 2 raíces positivas x1 y x2   entonces 3a= (x1 ^2)+x1 x1  +(x2  ^2), b= x1(x2 ^2) + +x2(x1 ^2)

Girard  formulo las relaciones entre raíces y coeficientes en 1629 en la obra invention nouvelle en l’algrebre , al permitir tanto las raíces negativas como imaginarias y Viete solo admitía positivas, Girard observo que las raíces negativas vienen a estar dirigidas en un sentido opuesto al de los números positivos. En geometría los negativos representan retroceso y los positivos avances, Girard se percato de que las ecuaciones pueden tener tantas raíces como indique su grado

    5.    Thomas Harriot y willian oughtred: Harriot sabia las relaciones que hay entre las raíces y los coeficientes de una ecuación y entre las raíces y la descomposición en factores, pero, al igual que Viete , se encontró con las inevitables dificultades derivadas de no tener en cuenta ni las raíces negativas ni las imaginarias. En materia de notaciones sin embargo, se le debe algunos avances importantes en el uso del simbolismo al ser el responsable de la introducción  de los signos > y < para <<mayor que >> y <<menor que>> también fue en parte su utilización del signo de igualdad de recordé lo que condujo a su adopción generalizada.

   6.    De nuevo el método de Horner: En una de sus obras tardías, la De numerosa potestatum resolutione (1600), da Viete un método para la resolución aproximada de ecuaciones, que hoy conocemos como método de Horner. Para resolver la ecuación (x^2)+7x=60750  ,  por ejemplo, Viete parte de una primera aproximación inferior para x dada por x1=200 sustituyendo entonces x =200 + (x^2) en la ecuación original se obtiene (x2 ^2)+407(x2 ^2)=19350 Esta ecuación nos conduce a una segunda aproximación x2 = 40 y sustituyendo ahora   x2 = 40+  x3  se  obtiene la ecuación (x3 ^2)+487x3=1470   de la que su raíz positiva es 3,  luego x2 =43 y x=243.

   7.    Trigonometría y prostaféresis: la trigonometría de Viete se caracteriza lo mismo que su álgebra, por el énfasis que se pone de manifiesto en la generalidad y amplitud de miras. Ya hemos visto que Viete fue el verdadero creador del algebra literal, pero también puede considerársele cono cierta justificación, como el padre del enfoque analítico general de la trigonometría que a veces recibe el nombre de goniometría también aquí parte Viete, desde luego , de la obra de sus predecesores , especialmente de Regiomontano y de Rhetilus al igual que el primero , considero viere la trigonometría como una rama independiente de la matemática y como  en el segundo trabajo generalmente sin ninguna referencia directa a las semicuerdas en una circunferencia. En su canon mathematicus (1579) calculo Viete unas extensas tablas de las seis funciones trigonométricas para ángulos de minutos en minutos. Ya  hemos visto que propugnaba enérgicamente el uso  de las fracciones decimales en vez de las sexagesimales pero en este caso y para evitar cualquier tipo de fracciones todo lo posibles

   8.     La resolución trigonométrica de ecuaciones: Viete observo también una importante conexión entre sus formulas y la resolución de la ecuación cubica: la trigonometría podría servir de ayuda al algebra precisamente en el caso en que esta última se había estrellado contra un muro de piedras, es decir, en el caso irreducible de las ecuaciones cubicas. Esta idea trisección del ángulo conducía a una ecuación cubica, si en la ecuación (x^3)+3px+q=0  hacemos la sustitución mx = y para obtener un grado de libertad al determinar más tarde el valor de m, resultad (y^3)+3(m ^2)py+(m^3)q=0 . Comprobando este resultado con la formula   cos^3q-3/4(cosq)-1/4(cos3q)=0, se puede comprobar que si  y=cosq y 3(m^2)p=-3/4 , entonces -1/4(cos3q)=(m^3)p  y como p es conocido se puede calcular m, y por lo tanto, se puede calcular  3q al ser q conocido, luego conocemos cosq, es decir, y de donde se obtiene inmediatamente el valor de x.

     9.    John Napier: John Napier no era lo mismo que Viete, un matemático profesional sino que era un hacendado escocés que con el titulo de Barón de murchiston, administraba sus extensas propiedades y aprovechaba el tiempo para escribir sobre temas variados, por ejemplo en un comentario sobre el apocalipsis de san Juan sostiene Napier que el papa de roma era el anticristo. Solo estaba interesado en algunos aspectos de la matemática, principalmente los relacionados con el cálculo numérico y la trigonometría. Las <<varillas o huesos de Napier >>   eran unas varillas en las que aparecía impresas tablas de multiplicar de tal manera que se podían aplicar fácilmente a la multiplicación por el método de la gelosia y las <<analogías de Napier >> y  las <<reglas de Napier de las partes circulares>>  eran reglas mnemotécnicas para ayudar a reconocer formulas de trigonometría esférica. 

EJERCICIOS 

    1.       Compárense  las  contribuciones de Stevin a las matemáticas con las de BÜrgi.

Stevin: 

·         Escribió el libro De Thiende << El decimo>>  

·         Se le atribuye el descubrimiento de la ley del plano inclinado

·         Formulo el convenio de que ½ dentro de un circulo significaba una raíz cuadrada y que 3/2 era una raíz cuadrada del cubo.

·         La noción (x^4)+3(x^2)-7x  la escribió como

            4   2    1

            1 + 3 -7

·         Fue ingeniero y trabajo con fraccionarios

BÜrgi:

·         Escribió el libro Arithmetishe and geometrische progress-Tabulen

·         Los logaritmo son mas aproximados a los nuestros

·         Realizo tablas de logaritmos y antilogaritmos

·         La noción (x^4)+3(x^2)-7x  la escribió como

            iv   ii   i

            1 + 3 -7

·         Utilizo el logaritmo a partir de 1+(10^-4) y lo multiplico por (10^8)

   2.       ¿Por qué se suele considerar a Viete a veces como el primer matemático realmente moderno? Explique claramente.

Viete es considerado un matemático moderno por sus trabajos realizados y es considerado además como uno de los principales precursores del algebra ya que fue el primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras, trabajo en la astronomía y tricotomía; los matemáticos del renacimiento se sentían continuadores de las matemáticas griegas, que son fundamentalmente geométricas. En la época de Viete el algebra, derivaba de la aritmética se percibe como un catalogo de reglas. Algunos matemáticos utilizaban razonamiento geométrico para justificar métodos algebraicos pero Viete utilizaba el algebra para resolver problemas geométricos, esto parecía ser más problemático y sin embargo esa era la propuesta de Viete y marco diferencia en ese aspecto.    

    3.       ¿Cuáles fueron las dos primeras curvas, que no fueron ni la recta ni la circunferencia ni combinaciones de ambas que encontraron algunas aplicaciones en la ciencia? Explique cómo se llego a aplicarlas

Estas dos primeras curvas fueron la elipse que fue aplicada a la astronomía y la parábola a la física

·         Con respecto a la elipse, las aplicaciones se observaron en la astronomía al considerar que los planetas del sistema solar tienen orbitas en forma de elipse

·         La parábola se llego a aplicar por los estudios y el análisis del movimiento de un proyectil. En una componente vertical uniformemente acelerado y se llego a conclusión de que la trayectoria que describe el proyectil, es siempre una parábola.

   4.       ¿Qué ventajas tiene las fracciones sobre las sexagesimales?¿qué razones puede dar de la tardía  aparición de las primeras en Europa?

·         Una fracción decimal es una fracción en el cual el denominador es una potencia de 10 , lo que facilita el cálculo entre operaciones como suma y multiplicación en fracciones , en comparación con las fracciones con las fracciones sexagesimales

·         Las fracciones sexagesimales decimales pueden escribirse fácilmente y hacer operaciones más rápido que las sexagesimales ya que en esta última se trabaja con grados, minutos  y segundos.

   5.       ¿Qué es un parámetro? ¿puede usted señalar ejemplos de parámetros anteriores a Viete? Explique se claramente.

Los parámetros según Viete eran las magnitudes o un número que se supone conocido o dado y se representaba con una constante

Ejemplo: la ecuación 2a(x^2)+3bx-(x^3)=D, hacia lo siguiente; la x  la nombraban A, los parámetros a y b los nombraba B y  F, al  D lo llamaba solido, a la operación de la multiplicación in, el cuadrado q (de quadratus), el cubo era c (de cubus) y la igualdad era aequartur. Escribía B2 in Aq+ F3 in A-AC aequartur D solido para representar   2a(x^2)+3bx-(x^3)=D

 toma de libro; historia de las matemáticas de Carl B. Boyer,1999, Alianza Editorial.