Matemáticas siglo XIX y XX 

Entre los siglos XIX y XX la teoría de grupos se ramificó, formando el núcleo del álgebra actual, compuesto por una serie de teorías como: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie. Durante los años 1870 y 1920, la teoría de grupos fue menos dominante que en la época de Poincaré. Los métodos teóricos de grupos se aplicaron a otras disciplinas, aportando en los descubrimientos relacionados con la teoría de la estructura de la materia, la física moderna, como los estudios realizados por De Broglie, Schrödinger, Dirac y otros.

Otro hito importante en el siglo XX fue la obra lógica de Gödel, que hay que relacionar desde el principio con el programa formalista de Hilbert. En su tesis doctoral "La completitud de los axiomas del cálculo funcional de primer orden", resolvía un problema pendiente, que David Hilbert y Wilhelm Ackermann habían planteado en un libro que escribieron conjuntamente en 1928, Grundzüge der theoretischen Logik (Fundamentos de la Lógica Teórica). La cuestión consistía en si las reglas del uso, enunciadas en el libro, para la manipulación de expresiones que contengan conectivos lógicas ("y", "o", y similares) y cuantificadores ("para todo" y "existe", aplicadas a variables que recorren números o conjuntos) permitirían, adjuntados a los axiomas de una teoría matemática, la deducción de todas y sólo todas las proposiciones que fueran verdaderas en cada estructura que cumpliera los axiomas. En lenguaje llano, ¿sería realmente posible demostrar todo cuanto fuera verdadero para todas las interpretaciones válidas de los símbolos?

Se esperaba que la respuesta fuese afirmativa, y Gödel confirmó que así era. Su disertación estableció que los principios de lógica desarrollados hasta aquel momento eran adecuados para el propósito al que estaban destinados, que consistía en demostrar todo cuanto fuera verdadero basándose en un sistema dado de axiomas. No demostraba, sin embargo, que todo enunciado verdadero referente a los números naturales pudiera demostrarse a partir de los axiomas aceptados de la teoría de los números.

El teorema de completitud de Gödel enuncia que es posible demostrar todos aquellos enunciados que se siguen de los axiomas. Existe, sin embargo, una dificultad: si algún enunciado fuese verdadero para los números naturales, pero no lo fuese para otro sistema de entidades que también satisface los axiomas, entonces no podría ser demostrado. Ello no parece constituir un problema serio, porque los matemáticos confiaban en que no existieran entidades que se disfrazasen de números para diferir de ellos en aspectos esenciales. Por este motivo, el teorema de Gödel que vino a continuación provocó auténtica conmoción.

En su artículo de 1931, Gödel demostraba que ha de existir algún enunciado concerniente a los números naturales que es verdadero, pero no puede ser demostrado. (Es decir, que existen objetos que obedecen a los axiomas de la teoría de números y, no obstante, en otros aspectos dejan de comportarse como números). Se podría eludir este "teorema de incompletitud" si todos los enunciados verdaderos fueran tomados como axiomas. Sin embargo, en ese caso, la decisión de si ciertos enunciados son verdaderos o no se torna problemática a priori. Gödel demostró que siempre que los axiomas puedan ser caracterizados por un sistema de reglas mecánicas, resultan indiferente cuáles sean los enunciados tomados como axiomas. Si son verdaderos para los números naturales, algunos otros enunciados verdaderos acerca de los números naturales seguirán siendo indemostrables.

En particular, si los axiomas no se contradicen entre sí, entonces, ese hecho mismo, codificado en enunciado numérico, será "formalmente indecidible" -esto es, ni demostrable ni refutable- a partir de dichos axiomas. Cualquier demostración de consistencia habrá de apelar a principios más fuertes que los propios axiomas.

Este último resultado apenó muchísimo a Hilbert, quien había contemplado un programa para fijar los fundamentos de las matemáticas por medio de un proceso "autoconstructivo", mediante el cual la consistencia de teorías matemáticas complejas pudiera deducirse de la consistencia de más sencillas y evidentes. Gödel, por otra parte, no consideraba que sus teoremas de incompletitud demostrasen la inadecuación del método axiomático, sino que hacían ver que la deducción de teoremas no puede mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en la investigación matemática.

Los conceptos y los métodos introducidos por Gödel en su artículo sobre la incompletitud desempeñan un papel central en la teoría de recursión, que subyace a toda la informática moderna.

Los resultados de Gödel en teoría de conjuntos resolvieron una de las cuestiones que Hilbert había planteado en 1900 en una alocución célebre pronunciada en el Congreso Internacional de Matemáticas.

Durante los años 40 quedó superado el aislamiento de las ideas sobre funciones de variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Riemann2 en los cuales aparecían amplias analogías que vinculaban esta teoría con otros campos de las matemáticas. Fue a finales de siglo XIX y a comienzos del siglo XX cuando se unificaron conceptos, creando una concepción única general de la teoría de funciones de variable compleja.

La geometría pasó de las ideas de geometría analítica del siglo XVII, a la proyectiva del siglo XIX, hasta llegar a la geometría diferencial del siglo XX. La geometría diferencial es la aplicación del análisis a las curvas y superficies. Tuvo su desarrollo casi definitivo con Gastón Darboux, a comienzos del siglo XX.

La geometría integral combinatoria puede ser considerada como una generalización del problema primitivo de las agujas de Bufón, extendiéndolo al caso de varias agujas fijas en el plano, en posición arbitraria, y calculando las medidas de las rectas que cortan o separan a algunas de estas agujas.

En la década de los sesenta, la geometría integral volvió a interesar a las probabilidades, debido principalmente a una serie de importantes trabajos de R.E. Miles. Se volvió a las probabilidades geométricas, pero no en su sentido clásico, sino en el marco de los modernos desarrollos de la teoría de las probabilidades, sobre todo dentro de los procesos estocásticos. Se conocían los procesos de puntos -los procesos de Poisson, por ejemplo- y se trató de extender el concepto de procesos de rectas y a otros elementos geométricos. De esta forma nació la geometría estocástica.

Los problemas que señalan en principio la aparición de este nuevo espíritu son los de funciones continuas y los teoremas de existencia. En particular, se creía que toda función continua era derivable en todos sus puntos, aparte quizá de un número finito o infinito de puntos excepcionales. Cauchy fue el primero, a comienzos del siglo XX, que se entregó a la tarea de dar una definición precisa de "función continua".

Respecto de los avances más significativos del análisis del siglo XX podría decirse que fueron, entre otros: el teorema de Carleson sobre la convergencia de las series trigonométricas, que puede ser considerado como una culminación del proyecto de análisis armónico delineado por Fourier, y el teorema de De Giorgi-Nash sobre la regularidad de las soluciones de ecuaciones elípticas, que inauguró la teoría no lineal y resolvió uno de los problemas planteados por Hilbert.

El siglo XX ha sido fértil en cuanto a la resolución de antiguos problemas abiertos, y en él se han logrado importantes avances. Vamos tan sólo a describir dos de los logros más interesantes: ambos son soluciones a problemas de más de trescientos años, que se obtuvieron al final de este siglo y en los que se logró el éxito gracias a desarrollos matemáticos previos.

Álgebra

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

Matrices

El término 'determinante' fue introducido por primera vez  por Gauss en “Disquisiciones Aritméticas” (1801) mientras se discutían formas cuadráticas. Gauss usó este término porque el determinante determina las propiedades de la forma cuadrática. Sin embargo, este concepto de determinante no era el mismo que conocemos ahora. En el mismo trabajo, Gauss pone los coeficientes de sus formas cuadráticas en arreglos rectangulares. Describe la multiplicación de matrices (la cual piensa como una composición, lo que implica que no había alcanzado aun el concepto de álgebra de matrices) y la inversa de una matriz en el contexto particular de los arreglos de coeficientes de formas cuadráticas.

La Eliminación Gaussiana, que primero aparece  en el texto” Nueve Capítulos de Arte Matemático” escrito 200 años AC, era usada por Gauss en sus estudios de la órbita del asteroide Pallas. Usando las observaciones de Pallas tomadas entre 1803 y 1809, Gauss obtuvo un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas.Gauss ideó un método sistemático para resolver tales ecuaciones, el que precisamente conocemos ahora como “Eliminación Gaussiana”  con  los coeficientes de una matriz.

Fue Cauchy en 1812 quien usó el término 'determinante' en el sentido moderno. El trabajo de Cauchy es el  más completo de los primeros trabajos sobre determinantes. Él desaprobaba los primeros resultados y daba nuevos resultados propios sobre menores. En este escrito, de 1812, por primera vez fue probada la multiplicación de determinantes aunque, en la misma reunión del Instituto de Francia, Binet lee un escrito que contenía la prueba del teorema de la multiplicación pero que fue menos satisfactoria que la realizada por Cauchy.

En 1826 Cauchy, en el contexto de formas cuadráticas en n variables, usó el término'tableau' para la matriz de coeficientes. Él encuentra el autovalores de matrices y dio resultados sobre diagonalización de una matriz en el contexto de convertir una  forma cuadrática a la suma de cuadrados. Cauchy también introdujo la idea de matrices similares (pero no el término) y mostró que si dos matrices son similares ellas tienen la misma ecuación característica. También probó, nuevamente en el contexto de formas cuadráticas,  que toda matriz simétrica real es diagonalizable.

Jacques Sturm dio una generalización del problema de los autovalores en el contexto de resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. De hecho, el concepto de autovalores apareció 80 años antes en trabajos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, hechos por D'Alembert  acerca de la generalización del movimiento de una cuerda con masas pegadas a él en diversos puntos.

Es una pena que ni Cauchy ni Jacques Sturm realizaron la generalidad de las ideas que ellos estaba introduciendo, las mostraron solo en los contextos específicos en que ellos estaban trabajando. Jacobi, alrededor 1830 y luego Kronecker y Weierstrass en los años 1850 y 1860 también miraron resultados matriciales pero otra vez en un contexto especial, esta vez relativo a  la idea de un transformación lineal.

Jacobi publicó tres tratados sobre determinantes en 1841. Esto fue de gran importancia, ya que por primera vez la definición de determinante fue hecha en forma  algorítmica y las entradas en los determinantes no fueron especificados. Así, sus resultados fueron aplicados igualmente bien a casos donde las entradas eran números o eunciones. Estos tres escritos de Jacobi hicieron la idea de determinante ampliamente conocido.

Cayley,  también publicó en 1841, la primera contribución Inglesa a la teoría de determinantes. En este escrito, uso dos líneas verticales en ambos lados del arreglo para denotar el determinante, una notación que ahora es común.

Eisenstein en 1844 denotó las sustituciones lineales con  una simple letra y mostró como sumarlas y multiplicarlas como números ordinarios excepto porque no hay commutatividad. Es justo decir que Eisenstein fue el primero en pensar las sustituciones lineales como la formación de un álgebra como pueder ser visto en la siguiente cita de su escrito de 1844:

"Un algoritmo para cálculo puede ser basado en esto,  consiste en aplicar las reglas normales para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación a ecuaciones simbólicas. Entre sistemas lineales, ecuaciones simbólicas correctas son obtenidas siempre, teniendo en consideración que el orden de los factores no puede ser alterado."

El primero en usar el término "matriz" fue Sylvester en 1850. Sylvester definió matriz como un arreglo rectangular de términos y vio como algunas matrices contenían dentro de ellas varios determinantes representados como arreglos cuadrados. Después de dejar América, Sylvester volvió a Inglaterra en 1851, y se formó como abogado. Más tarde junto a Cayley, un abogado como él, compartió sus intereses matemáticos. Cayley rápidamente vio el significado del concepto de matriz  y en 1853 había publicado una nota dando, por primera vez, la inversa de una matriz.

Cayley, en 1858,  publicó “Memorias sobre la teoría de matrices”  que contiene  la primera definición abstracta de matriz. Él muestra que los arreglos de coeficiente estudiados tempranamente para formas cuadráticas y para transformaciones lineales son casos especiales de su concepto general. Cayley daba una definición algebraica sobre adición de matrices, multiplicación, multiplicación por un escalar y matriz  inversa. Él daba una construcción explícita de la inversa de una matriz en términos del determinante. Cayley también probó que, en el caso de matrices de orden (2 x 2), la  matriz satisface su ecuación característica propia. Él declaraba que había comprobado el resultado para matrices de orden (3 x 3), indicando su prueba, pero dice:

"Yo no tengo la condición necesaria para llevar adelante el trabajo de probar formalmente el teorema para el caso general de una matriz de cualquier grado."

Que una matriz satisfaga su ecuación característica propia es lo que se conoce como el "Teorema de Cayley-Hamilton". Es razonable preguntarse que tiene que ver esto con Hamilton. En efecto, el también probó un caso especial del teorema, para  matrices de orden (4 x 4), en el curso de sus investigaciones sobre cuaterniones. En 1870, la forma canónica de Jordan aparece en “ Tratado sobre sustituciones y ecuaciones algebraicas”  por Jordan. Aparece en el contexto de una  forma canónica para sustituciones lineales sobre un campo finito de orden primo. Frobenius, en 1878, escribió un importante trabajo sobre  matrices en “Sustituciones lineales y formas bilineales” cuando el no estaba consciente del trabajo de Cayley. Frobenius trabajaba en su artículo con coeficientes de formas cuadráticas y  no usa el término matriz. Sin embargo probó importantes resultados sobre matrices canónicas como representaciones de clases de equivalencia de matrices. Él menciona a Kronecker (1874)  y Weierstrass  (1868) como casos especiales de sus resultados respectivamente. Frobenius además probó el resultado general de que una matriz satisfaga su ecuación característica. Este escrito de  1878  también contiene la definición del rango de una matriz  el cual  usaba en sus trabajos sobre formas canónicas y la definición de  Matrices Ortogonales. La nulidad de una matriz cuadrada  fue definida por Sylvester en 1884. Él definía la nulidad de A, n(A), como el mayor i tal que cada de A de orden (n-i+1)  es nula. Sylvester estaba interesado en invariantes de matrices, esto es, propiedades que cumplen algunas matrices y que no son alteradas bajo ciertas transformaciones. Sylvester provó que:

  max(n(A),n(B)) <= n(AB) <= n(A) + n(B).

En 1896, Frobenius conoció las “Memorias sobre la teoria de matrices”  de  Cayley (1858) y despues comenzó a usar el término matriz. A pesar del hecho que Cayley solo había probado el teorema de Cayley-Hamilton para matrices de (2 x 2) y (3 x 3), Frobenius generosamente atribuyó el resultado a Cayley a pesar de haber sido el, el primero en probar el teorema general.

Una definición axiomática de determinante fue usado por Weierstrass en sus clases y, despues de fallecido,  fue publicado, en 1903, en la nota “Teoría de determinantes”. En el mismo año,  también fueron publicados los apuntes de Kronecker sobre determinantes, nuevamente despues de su muerte. Con estas dos publicaciones, la teoría moderna de determinantes estaba desarrollada pero, la teoría de matrices tomaba un poco más de tiempo para convertirse en una  teoría completamente aceptada.

Análisis complejo

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX. Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica. En tiempos modernos se convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los dibujos de fractales, producidos por la iteración de funciones holomorfas, de los cuales el más popular es el conjunto de Mandelbrot. Otras aplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría de cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

Probabilidad

A mediados del siglo  XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales

Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov » la definió de forma axiomática y estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como es la teoría de la medida.

Geometría no euclidiana

La primera persona que realmente entendió el problema de las paralelas fue Gauss. Empezó a trabajar sobre el quinto postulado en 1792 cuando tenía apenas 15 años de edad, intentando primero demostrar el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro. Par 1813 había progresado poco y escribió:

En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas… Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto postulado era independiente de los otros cuatro postulados. Empezó a deducir las consecuencias de una geometría en la que más de una línea puede dibujarse que pase por un punto dado y que sean paralelas a una recta dada. Tal vez lo más sorprendente de todo es que Gauss nunca publicó este trabajo sino que lo mantuvo en secreto. En esa época el pensamiento estaba dominado por Kant, quien afirmó que la geometría euclidiana es la inevitable necesidad de pensamiento y a Gauss le disgustaba la controversia. Gauss discutió la teoría de las paralelas con su amigo, el matemático Farkas Bolyai quien hizo varias demostraciones falsas del postulado de las paralelas. Farkas Bolyai le enseñó matemáticas a su hijo, János Bolyai pero, a pesar de haber pedido a su hijo que no perdiera una sola hora en ese problema del quinto postulado, János Bolyai sí trabajó en el problema. En 1823 Bolyai escribió a su padre diciendo que he descubierto cosas tan maravillosas que estoy asombrado…  de la nada he creado un extraño nuevo mundo. Sin embargo le llevó a Bolyai otros dos años escribirlo todo y publicó su extraño nuevo mundo como un apéndice de 24 páginas en el libro de su padre, aunque solamente para confundir a generaciones posteriores, el apéndice fue publicado antes que el libro mismo. Gauss, después de leer las 24 páginas, describió a János Bolyai en estas palabras al escribirle a un amigo: Veo a este joven geómetra Bolyai como un genio de primer orden. Sin embargo en cierto sentido Bolyai solamente supuso que la nueva geometría era posible. Después siguió las consecuencias de manera no muy diferente a la de aquellos que habían elegido suponer que el quinto postulado era falso y buscaban una contradicción. No obstante a ello, el verdadero avance fue la creencia de que la nueva geometría era posible. Gauss, a pesar de lo impresionado por Bolyai que sonaba en la cita anterior, más bien lo devastó al decirle que él mismo (Gauss) había descubierto todo esto anteriormente pero no lo había publicado. Aunque esto debe sin duda ser cierto, no le quita nada al increíble avance de Bolyai. Tampoco queda disminuido el trabajo de Bolyai porque Lobachevsky publicara una obra sobre geometría no-euclidiana en 1829. Ni Bolyai ni Gauss sabía del trabajo de Lobachevsky, principalmente porque fue publicada nada más en ruso en el Mensajero de Kazan, una publicación universitaria local. El intento de Lobachevsky para llegar a un audiencia más amplia había fallado cuando su artículo fue rechazado por Ostrogradski. De hecho, a Lobachevsky no le fue mejor que a Bolyai para atraer el reconocimiento público de su trascendental obra. Publicó Investigaciones geométricas sobre la teoría de las paralelas en 1840, la cual, en sus 61 páginas, da la narración más clara del trabajo de Lobachevsky. La publicación de un recuento en francés en el Diario de Crelle en 1837 llevó su trabajo sobre geometría no-euclidiana a una gran audiencia pero la comunidad matemática no estaba lista para aceptar ideas tan revolucionarias.

En el folleto de Lobachevsky de 1840 se explica claramente cómo funciona su geometría no-euclidiana. Todas las rectas que en un plano salen de un punto pueden con respecto a una recta dada en el mismo plano, ser divididas en dos clases -en las que cortan y las que no cortan. Las líneas frontera de cada clase de rectas se llamarán palalelas a la recta dada.

Desde aquí Lobachevsky ha reemplazado el quinto postulado de Euclides por:

Postulado de las paralelas de Lobachevsky. Existen dos líneas paralelas a otra dada y que pasan por un punto dado que no está en la línea dada. Lobachevsky prosiguió con el desarrollo de muchas identidades trigonométricas para triángulos en esta geometría, demostrando que conforme el triángulo se hace más pequeño, dichas identidades tienden a las identidades trigonométricas habituales. Riemann, quien escribió su disertación doctoral bajo la supervisión de Gauss, dio una conferencia inaugural el 10 de junio de 1854 en la cual reformuló por completo el concepto de geometría a la cuál el vio como un espacio con suficiente estructura adicional como para poder medir cosas como la longitud. Esta plática no fue publicada sino hasta 1868 dos años después de la muerte de Riemann, pero tendría una profunda influencia en el desarrollo de gran cantidad de geometrías distintas. Riemann brevemente discutió una geometría ‘esférica’ en la cual cada línea que pasa por un punto P que no está en una línea AB toca a la línea AB. En esta geometría las rectas paralelas son imposibles.

Es importante darnos cuenta de que ni la descripción de Bolyai ni la de Lobachevsky de su nueva geometría habían sido probadas como consistentes. De hecho, no era diferente de la geometría euclidiana en este aspecto aunque los muchos siglos de trabajo con la euclidiana eran suficientes para convencer a los matemáticos de que jamás aparecería una contradicción dentro de ella.

La primera persona que puso a la geometría no-euclidiana de Bolyai – Lobachevsky en la misma base que la geometría euclidiana fue Eugenio Beltrami (1835-1900). En 1868 escribió un artículo Ensayo sobre la interpretación de la geometría no-euclidiana que presentaba un modelo para una geometría no-euclidiana bidimensional dentro de la geometría euclidiana tridimensional. Este modelo se obtuvo en la superficie de revolución de una tractriz alrededor de su asíntota. A esto se le llama a veces una seudo-esfera.

Puedes ver la gráfica de una tractriz y cómo se ve la mitad superior de una pseudo-esfera de hecho, el modelo de Beltrami estaba incompleto pero sin duda daba una decisión final sobre el quinto postulado de Euclides ya que el modelo proporcionaba una base sobre la cual se sustentaban los primeros cuatro postulados de Euclides pero no así el quinto. Reducía el problema de la consistencia de los axiomas de la geometría no-euclidiana al de la consistencia de los axiomas de la geometría euclidiana.

El trabajo de Beltrami sobre un modelo de la geometría no-euclidiana de Bolyai-Lobachevsky fue completado por Klein en 1871. Klein fue más allá de esto y dio modelos de otras geometrías no-euclidianas tales como la geometría esférica de Riemann. El trabajo de Klein se basaba en la noción de distancia definida por Cayley en 1859 cuando propuso una definición generalizada de distancia.

Klein mostró que hay tres tipos básicos de geometría. En la del tipo de la de Bolyai-Lobachevsky, las rectas tiene dos puntos infinitamente distantes. En la geometría esférica del tipo de Riemann, las rectas no tienen puntos infinitamente distantes (o más precisamente dos imaginarios). La geometría euclidiana es un caso límite entre las dos en el cual para cada línea hay dos puntos infinitamente distantes que son coincidentes.

Geometría proyectiva

Gérard Desargues es el iniciador de la geometría proyectiva, pues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639, pasó desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes.

En el siglo XIX, la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica, se establecieron dentro de las matemáticas, pero lo que acabó de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analítico. Dentro del contexto de la geometría euclidiana-cartesiana se puede construir la geometría proyectiva y, si se acepta la primera, hay que admitir la segunda.

Este proceso finalizó definitivamente a principios del siglo XX, pues Einstein, apoyándose en los exhaustivos desarrollos geométricos de los matemáticos del siglo XIX, consiguió demostrar que, a gran escala, el universo se puede interpretar mejor con estas nuevas geometrías que con el rígido espacio euclidiano.

Teoría de conjunto

George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.

El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".

Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basarse en una teoría inconsistente.

La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas y prometió una solución al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo más simple de la intuición: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición general. Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas, pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas. Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál decía que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la tienen, lo cuál sería la negación de la propiedad A. A esta corriente de pensamiento se le llamó intuicionismo.

Por otro lado, David Hilbert se opuso al intuicionismo y aunque no toleraba las paradojas, no estaba dispuesto a ver las matemáticas mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba, la cuál era una teoría de la lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a las matemáticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló su teoría de los tipos para evitar las paradojas. El proponía que los enunciados se acomodaran jerárquicamente. Russell publicó sus resultados en 1908 con la colaboración de Alfred North Whitehead. 

La cuarta respuesta a la paradoja fue de Ernst Zermelo en 1908 con la axiomatización de la teoría de conjuntos. La mejor prueba de que la teoría de conjuntos no ha logrado unificar a las matemáticas es que éstas se han ramificado en áreas muy diferenciadas, como la aritmética, el álgebra, la trigonometría y geometría; también se han separados distintos campos como el cálculo, la topología, la teoría de conjuntos, la teoría de los números y la estadística.

tomado de http://www.aportes.educ.ar/sitios/aportes/recurso/index?rec_id=107513&nucleo=matematica_nucleo_arte  , http://ftovars.galeon.com/pag1.htm , https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectiva , http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html , https://www.google.com.co/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CBwQFjAAahUKEwjeopORtOXIAhXD2B4KHU8dCQA&url=http%3A%2F%2Fastroseti.org%2Ftraducciones%2Fhistoria-de-las-matematicas%2Fhistoria-de-la-geometria-no-euclidiana%2F&usg=AFQjCNEdGGDnBO2ASmFPsGyXbif0Ivqb4w&sig2=RXxNSpq6omjya_7nfrRjyA