RESUMEN
PRELUDIOS A LA MATEMÁTICA MODERNA
1. Francois Viete: El álgebra árabe había sido no solo
asimilada sistemáticamente, sino mejorada de una manera con la resolución de
cubica y la cuadrática. Cierto simbolismo y la trigonometría se convierte en
disciplina independiente. Había maduración en la época para llevar a cabo
avances para superar contribuciones antiguas medievales y renacentistas. Viete:
es la figura central y la más brillante de la transición Europea fue el francés Francois Viete
(1540-1603). No era lo que podía llamar un matemático profesional, estudio
derecho, fue miembro del parlamento de
Bretaña, nombrado miembro del consejo real, sirvió a Enrique III , Viete solo
se dedico a las matemáticas en sus ratos de ocio hizo importantes contribuciones a la aritmética, álgebra, trigonometría y geometría, Viete cayo políticamente y se dedico a
estudios matemáticos.
2. El concepto de parámetro: Viete hizo importantes
contribuciones al algebra y se aproximo a un punto de vista modernos <<
la cosa>> en una ecuación con coeficiente numérico concretos, se introdujo
algunos símbolos para representar una
incógnita y las primeras potencias de esa misma incógnita, , un geómetra podía
representar una figura y llamarla ABC, pero un algebrista en cambio no disponía
de ningún recurso para escribir una ecuación general de segundo grado que
incluye a todas. Viete propuso utilizar
una vocal para representar una
cantidad desconocida o indeterminada
y una consonante para representa la magnitud o un numero que se supone
conocido o dado y se observa la
distancia entre concepto de parámetro y la idea de incógnita.
3. El arte analítica: Se utilizo
el simbolismo y escritura, las ecuaciones cuadráticas de forma B(A^2)+CA+D=0 donde A es la incógnita y
B,C,D son parámetros, la multiplicación representada por la partícula m, la
división indicada por medio de líneas de fracción; para la igualdad abreviada
de la palabra aequalis, Viete dice que en vez de razonar de lo que se conoce a
lo que hay que demostrar(Razonar invariablemente a partir de las hipótesis).
4. Las relaciones entre las raíces y los coeficientes en una ecuación: Viete propuso un nuevo enfoque de la
resolución de la cubica, una vez que se reduce a la forma canónica del tipo (x^3)+3ax=b introducida una nueva
incógnita y relacionada con la x por medio de la ecuación (y^2)+xy=a y este cambio transforma la cubica en x en
ecuaciones cuadráticas en (y^3) , Viete comprobó que si
la ecuación (x^3)+b=3ax tiene 2 raíces positivas
x1 y x2
entonces 3a= (x1 ^2)+x1 x1 +(x2 ^2), b= x1(x2 ^2) + +x2(x1 ^2)
Girard
formulo las relaciones entre raíces y coeficientes en 1629 en la obra
invention nouvelle en l’algrebre , al permitir tanto las raíces negativas como
imaginarias y Viete solo admitía positivas, Girard observo que las raíces
negativas vienen a estar dirigidas en un sentido opuesto al de los números
positivos. En geometría los negativos representan retroceso y los positivos
avances, Girard se percato de que las ecuaciones pueden tener tantas raíces
como indique su grado
5. Thomas Harriot y willian
oughtred: Harriot sabia
las relaciones que hay entre las raíces y los coeficientes de una ecuación y
entre las raíces y la descomposición en factores, pero, al igual que Viete , se
encontró con las inevitables dificultades derivadas de no tener en cuenta ni
las raíces negativas ni las imaginarias. En materia de notaciones sin embargo,
se le debe algunos avances importantes en el uso del simbolismo al ser el
responsable de la introducción de los
signos > y < para <<mayor que >> y <<menor que>>
también fue en parte su utilización del signo de igualdad de recordé lo que
condujo a su adopción generalizada.
6. De nuevo el método de
Horner: En una de sus
obras tardías, la De numerosa potestatum resolutione (1600), da Viete un método
para la resolución aproximada de ecuaciones, que hoy conocemos como método de
Horner. Para resolver la ecuación (x^2)+7x=60750 , por ejemplo, Viete parte de una primera
aproximación inferior para x dada por x1=200 sustituyendo entonces x =200 + (x^2) en la ecuación original se obtiene (x2 ^2)+407(x2 ^2)=19350 Esta ecuación nos conduce
a una segunda aproximación x2 = 40 y sustituyendo ahora x2 = 40+ x3 se
obtiene la ecuación (x3 ^2)+487x3=1470 de la que su raíz
positiva es 3, luego x2 =43 y x=243.
7. Trigonometría y prostaféresis: la trigonometría de Viete se caracteriza
lo mismo que su álgebra, por el énfasis que se pone de manifiesto en la
generalidad y amplitud de miras. Ya hemos visto que Viete fue el verdadero
creador del algebra literal, pero también puede considerársele cono cierta
justificación, como el padre del enfoque analítico general de la trigonometría
que a veces recibe el nombre de goniometría también aquí parte Viete, desde
luego , de la obra de sus predecesores , especialmente de Regiomontano y de
Rhetilus al igual que el primero , considero viere la trigonometría como una
rama independiente de la matemática y como
en el segundo trabajo generalmente sin ninguna referencia directa a las
semicuerdas en una circunferencia. En su canon mathematicus (1579) calculo
Viete unas extensas tablas de las seis funciones trigonométricas para ángulos
de minutos en minutos. Ya hemos visto
que propugnaba enérgicamente el uso de
las fracciones decimales en vez de las sexagesimales pero en este caso y para
evitar cualquier tipo de fracciones todo lo posibles
8. La resolución trigonométrica de ecuaciones: Viete observo también una importante
conexión entre sus formulas y la resolución de la ecuación cubica: la
trigonometría podría servir de ayuda al algebra precisamente en el caso en que
esta última se había estrellado contra un muro de piedras, es decir, en el caso
irreducible de las ecuaciones cubicas. Esta idea trisección del ángulo conducía
a una ecuación cubica, si en la ecuación (x^3)+3px+q=0 hacemos la sustitución mx = y para obtener un
grado de libertad al determinar más tarde el valor de m, resultad (y^3)+3(m ^2)py+(m^3)q=0 . Comprobando este resultado con la formula cos^3q-3/4(cosq)-1/4(cos3q)=0, se puede comprobar que si y=cosq y 3(m^2)p=-3/4 , entonces -1/4(cos3q)=(m^3)p y como p es conocido se
puede calcular m, y por lo tanto, se puede calcular 3q al ser q conocido, luego
conocemos cosq, es decir, y de donde se obtiene inmediatamente el valor de x.
9. John Napier: John Napier no era lo mismo que Viete, un
matemático profesional sino que era un hacendado escocés que con el titulo de
Barón de murchiston, administraba sus extensas propiedades y aprovechaba el
tiempo para escribir sobre temas variados, por ejemplo en un comentario sobre
el apocalipsis de san Juan sostiene Napier que el papa de roma era el
anticristo. Solo estaba interesado en algunos aspectos de la matemática,
principalmente los relacionados con el cálculo numérico y la trigonometría. Las
<<varillas o huesos de Napier >>
eran unas varillas en las que aparecía impresas tablas de multiplicar de
tal manera que se podían aplicar fácilmente a la multiplicación por el método
de la gelosia y las <<analogías de Napier >> y las <<reglas de Napier de las partes circulares>> eran reglas mnemotécnicas para ayudar a
reconocer formulas de trigonometría esférica.
EJERCICIOS
1. Compárense las contribuciones de Stevin a las matemáticas
con las de BÜrgi.
Stevin:
·
Escribió el libro De Thiende << El
decimo>>
·
Se le atribuye el descubrimiento de la ley del
plano inclinado
·
Formulo el convenio de que ½ dentro de un circulo
significaba una raíz cuadrada y que 3/2 era una raíz cuadrada del cubo.
·
La noción (x^4)+3(x^2)-7x la escribió como
4 2 1
1 +
3 -7
·
Fue ingeniero y trabajo con fraccionarios
BÜrgi:
·
Escribió el libro Arithmetishe and geometrische
progress-Tabulen
·
Los logaritmo son mas aproximados a los nuestros
·
Realizo tablas de logaritmos y antilogaritmos
·
La noción (x^4)+3(x^2)-7x la escribió como
iv ii i
1 +
3 -7
·
Utilizo el logaritmo a partir de 1+(10^-4) y lo
multiplico por (10^8)
2. ¿Por qué se suele considerar a Viete a veces como el primer
matemático realmente moderno? Explique claramente.
Viete es
considerado un matemático moderno por sus trabajos realizados y es considerado
además como uno de los principales precursores del algebra ya que fue el
primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras, trabajo
en la astronomía y tricotomía; los matemáticos del renacimiento se sentían
continuadores de las matemáticas griegas, que son fundamentalmente geométricas.
En la época de Viete el algebra, derivaba de la aritmética se percibe como un
catalogo de reglas. Algunos matemáticos utilizaban razonamiento geométrico para
justificar métodos algebraicos pero Viete utilizaba el algebra para resolver
problemas geométricos, esto parecía ser más problemático y sin embargo esa era
la propuesta de Viete y marco diferencia en ese aspecto.
3. ¿Cuáles fueron las dos primeras curvas, que no fueron ni la
recta ni la circunferencia ni combinaciones de ambas que encontraron algunas
aplicaciones en la ciencia? Explique cómo se llego a aplicarlas
Estas dos
primeras curvas fueron la elipse que fue aplicada a la astronomía y la parábola
a la física
·
Con respecto a la elipse, las aplicaciones se
observaron en la astronomía al considerar que los planetas del sistema solar
tienen orbitas en forma de elipse
·
La parábola se llego a aplicar por los estudios
y el análisis del movimiento de un proyectil. En una componente vertical
uniformemente acelerado y se llego a conclusión de que la trayectoria que
describe el proyectil, es siempre una parábola.
4. ¿Qué ventajas tiene las fracciones sobre las
sexagesimales?¿qué razones puede dar de la tardía aparición de las primeras en Europa?
·
Una fracción decimal es una fracción en el cual
el denominador es una potencia de 10 , lo que facilita el cálculo entre operaciones
como suma y multiplicación en fracciones , en comparación con las fracciones
con las fracciones sexagesimales
·
Las fracciones sexagesimales decimales pueden
escribirse fácilmente y hacer operaciones más rápido que las sexagesimales ya
que en esta última se trabaja con grados, minutos y segundos.
5. ¿Qué es un parámetro? ¿puede usted señalar ejemplos de
parámetros anteriores a Viete? Explique se claramente.
Los parámetros según
Viete eran las magnitudes o un número que se supone conocido o dado y se
representaba con una constante
Ejemplo: la
ecuación 2a(x^2)+3bx-(x^3)=D, hacia lo siguiente; la x la nombraban A, los parámetros a y b los
nombraba B y F, al D lo llamaba solido, a la operación de la
multiplicación in, el cuadrado q (de quadratus), el cubo era c (de cubus) y la
igualdad era aequartur. Escribía B2 in Aq+ F3 in A-AC aequartur D solido para
representar 2a(x^2)+3bx-(x^3)=D
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