SIGLO XVIII

Cálculo: En cuanto a los matemáticos en el mundo británico del siglo XVIII después de Newton, el más importante fue Colin  Maclaurin, quien fue profesor de la Universidad de Edimburgo, Escocia, discípulo directo de Newton. Al igual que en el continente con Euler o Clairaut, Maclaurin trabajó en la extensión de los métodos diferenciales, las curvas de segundo y órdenes superiores, la atracción de los elipsoides de revolución; también trabajó en geometría proyectiva, métodos cinemáticos para describir curvas planas de diferentes grados, etc. Dos de su obras: Geometria organica (1720) y Tratado sobre fluxiones (2 volúmenes, 1742). En este último aparece la famosa "serie de Maclaurin'' que en realidad había sido introducida por Brook Taylor en 1715. Las "series de Taylor'' fueron aplicadas por Euler en 1755. Taylor también estudió el problema de la cuerda vibrante. Asunto de gran importancia para la historia de las matemáticas en Gran Bretaña fueron las consecuencias de la confrontación entre Newton y Leibniz. La escuela Newtoniana en Inglaterra y la de Leibniz se separaron de una manera muy profunda, que hizo que se generara un estancamiento en las islas británicas en relación con las matemáticas que se desarrollaban en el continente. En particular, como señala Bell: "La lealtad patriótica hacia Newton ocultó a los matemáticos ingleses la evidente superioridad de la notación de Leibniz sobre los puntos de Newton, y...; el resultado fue que a principios del siglo XVIII Suiza y Francia quedaron a la cabeza de las matemáticas. Los herederos científicos de Newton fueron los matemáticos del continente, no sus paisanos. Finalmente, en 1820, los matemáticos jóvenes de Cambridge se dieron cuenta de que sus reaccionarios mayores no honraban la memoria de Newton con su obstinado nacionalismo, y adoptaron las mejoras llevadas al cálculo por los del continente, e introdujeron la geometría analítica y la notación de Leibniz en los exámenes. Cambridge revivió matemáticamente. Mientras que Alemania y Francia tuvieron un gran dominio en el análisis y la geometría, fue en las islas británicas donde se darían los resultados más importantes en el álgebra, excepto por la teoría de grupos.

Integrales múltiples: En relación a la integración múltiple, parece claro que, aunque anteriormente se habían utilizado algunas integrales múltiples de tipo geométrico y físico, fue Euler el que tuvo una idea clara sobre el sindicado de las integrales dobles extendidas a un recinto plano limitado por arcos, y dio el método para calcularlas. Al final del siglo, LaGrange y Laplace (1749-1827) introdujeron las integrales múltiples en general y estudiaron el cambio de variable en ellas, rápidamente fueron construidas integrales elípticas indefinidas, la función gama y otras más.

 Ecuaciones en derivadas parciales: Fue también en el siglo XVIII que se desarrolló el cálculo en funciones de dos y tres variables. Aunque Newton, Jean y Nicolaus Bernoulli habían realizado la diferenciación en funciones de 2 variables, la teoría fue plenamente desarrollada por varios matemáticos: Alexis Fontaine de Bertins (1705 - 71), Euler, Clairaut y d'Alembert. Al principio se usó el mismo signo d para expresar la derivada. La idea era simple: efectuar la derivada sobre una variable dejando como constantes las otras. La derivación "parcial'' (para una variable) tuvo mucha relevancia en las ecuaciones diferenciales. En relación con asuntos de hidrodinámica, en los que aparecían las ecuaciones diferenciales, Euler hizo un amplio tratamiento de la derivación parcial. En 1734, por ejemplo, Euler mostraba que si z= f(x,y) entonces  (d^2)z/ dxdy = (d^2)z/ dydx. Entre 1744 y 1745, d'Alembert extendió el cálculo de las derivadas parciales (trabajando en dinámica).

Algebra: Con ideas hasta cierto punto anticipadas por Lagrange y por el italiano Ruffini, Galois creó la teoría de grupos, fundamento del álgebra moderna y de la geometría moderna. Ya desarrollaremos estos detalles.

Él consideró las propiedades fundamentales del grupo de transformaciones que pertenecía a las raíces de una ecuación algebraica y estudió el papel de algunos subgrupos invariantes. Sus publicaciones tuvieron una vida también difícil: aunque en la École había publicado 4 artículos, en 1829 sometió dos a la Academia de Ciencias pero éstos fueron perdidos por Cauchy; otro el año siguiente enviado a Fourier corrió suerte similar porque este último matemático se murió.

Geometría: Gaspard Monge se suele caracterizar como el primer especialista en geometría. Creó los fundamentos de la geometría proyectiva y, además, contribuyó a la geometría diferencial y analítica. Sus obras principales fueron: Géométrie descriptive (1795 - 1799) y Application de l'analyse à la géométrie (1809). El primer libro condensaba las lecciones que Monge había dado en la École Normale, otra institución formativa, aunque con un menor nivel que la Polytechnique. Monge desarrolló la geometría analítica en tres dimensiones. Por ejemplo, hizo un estudio sistemático de la recta en el espacio tridimensional, estudió los parámetros de dirección de una recta, la distancia de un punto a una recta, la distancia entre dos rectas, etc. Uno de sus resultados, para dar un ejemplo: "Los planos trazados por los puntos medios de las aristas de un tetraedro y respectivamente perpendiculares a la arista opuesta, se cortan en un punto M que recibe el nombre de 'punto de Monge' del tetraedro. Este punto M es además el punto medio del segmento que une al baricentro y el circuncentro del tetraedro. ''

Teoría de números: En la teoría de los números hizo contribuciones muy importantes. Su Essai sur la Théorie des nombres fue el primer tratado exclusivamente de teoría de números. En éste incluyó un resultado sobre las congruencias, que es muy famoso: Cuando al tenerse que si p y q son dos enteros  entonces existe otro número entero x tal que (x^2) - 9 es divisible por p, se dice que q es un residuo cuadrático de p. Entonces, dados y son primos impares, (x^2)= q (modp) y (x^2)=p (modq)  son solubles a la vez o insolubles, salvo que p y q  sean de la forma 4n+ 3. En este último caso, una de las congruencias es soluble y la otra no lo es. También Legendre en este mismo tratado hizo la conjetura que afirma que p(n), el número de primos menores que el natural n  tiende a: n/ ln(n)-1.08366. En 1825, ofreció un resultado sobre el último teorema de Fermat: una demostración de su insolubilidad para n=5.

Probabilidad: En lo que se refiere a las probabilidades, Laplace partía de la premisa de que éstas tenían sentido debido a que medio conocemos y medio desconocemos la realidad circundante. Lo señala con claridad:

"La probabilidad se relaciona, en parte, con esta ignorancia, en parte con nuestros conocimientos. Sabemos que de tres o más acontecimientos uno solo puede ocurrir, pero nada nos induce a creer que uno de ellos ocurrirá con preferencia a los otros. En este estado de indecisión nos es imposible predecir su acaecimiento con certeza. No obstante es probable que uno de estos acontecimientos, tomado arbitrariamente, no ocurra, porque vemos muchos casos igualmente posibles que excluyen su acaecimiento, mientras que sólo uno lo favorece.

La teoría del azar consiste en reducir todos los acontecimientos de la misma índole a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, tales que estemos igualmente inseguros de su acaecimiento, y en determinar el número de casos favorables al acontecimiento cuya probabilidad se indaga. La razón de este número con la de todos los casos posibles es la medida de la probabilidad, que no es más que una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número total de casos posibles''.

tomado de https://books.google.com.co/books?id=Q7gc9S63WDYC&pg=PA319&lpg=PA319&dq=Fue+tambi%C3%A9n+en+el+siglo+XVIII+que+se+desarroll%C3%B3+el+c%C3%A1lculo+en+funciones+de+dos+y+tres+variables.+Aunque+Newton&source=bl&ots=7MN-xvl2Zd&sig=1kpxOuAofaoiOZkQnd7HbQ5pvwM&hl=es-419&sa=X&ved=0CBsQ6AEwAGoVChMItsba0rTlyAIVh7IeCh2a4g3A#v=onepage&q=Fue%20tambi%C3%A9n%20en%20el%20siglo%20XVIII%20que%20se%20desarroll%C3%B3%20el%20c%C3%A1lculo%20en%20funciones%20de%20dos%20y%20tres%20variables.%20Aunque%20Newton&f=false