SIGLO
XVII
Los
logaritmos: Puede decirse que el resultado más relevante de la aritmética de
los siglos XVI y XVII fueron los logaritmos. Aparentemente, fue Stifel el
primero en notar la correspondencia entre los términos de la sucesión
geométrica 1,s,(s^2),(s^3) y aquellos de la progresión aritmética
formada por sus exponentes: 0, 1, 2, 3, 4,.... Al multiplicarse dos términos de
la geométrica, el exponente del nuevo término así formado es la suma de los
términos correspondientes en la aritmética. La división en la geométrica da la
resta en la aritmética. También Chuquet había notado esto (1484). Pero fue John
Napier (1550 - 1617) quien desarrolló los logaritmos, casi al terminar el siglo
XVI, analizando la correspondencia entre las dos progresiones. Su motivación
era, como era común en toda esta época, facilitar cálculos en trigonometría
esférica que se usaba en asuntos de astronomía (de hecho, considera logaritmos
de senos). Napier envió en consulta sus resultados al gran astrónomo Tycho
Brahe. Dos obras condensan esos resultados: Mirifici Logarithmorum Canonis
Descriptio y Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, de 1614 y 1619
respectivamente. Otro matemático que trabajó con logaritmos fue Henry Briggs
(1561 - 1631), quien sugirió el 10 como base, simplificando las cosas, y creó
tablas de logaritmos para números cercanos que todavía tienen alguna utilidad.
Un tratamiento similar al de Napier fue realizado por el suizo Joost Bürgi
(1552 - 1632) quien, para que se aprecie la conexión astronómica, fue asistente
de Kepler en Praga. Tiempo después se construyeron otras tablas de logaritmos
por vía algebraica, incluso usando series infinitas: James Gregory, Lord
Brouncker, Nicholas Mercator, John Wallis y Edmond Halley ("padre'' del
famoso cometa Halley).
John Napier nació en 1 550, en Merchiston, Edinburgo, Escocia. En 1 563,
John inició sus estudios en la Universidad de St. Andrews a la edad de trece
años y fue aquí donde surgió su interés en la teología. No recibió su título en
esa universidad porque partió hacia Europa a estudiar. No se sabe con exactitud
en qué universidades estudió en Europa, pero es muy probable que lo haya hecho
en la Universidad de Paris. En 1 571, regresó a Escocia a presenciar el
segundo matrimonio de su padre. En 1 574, se completó la construcción del
castillo de la familia en Gartness y John se fue a vivir ahí con su esposa. Fue
un hombre que desempeñó un papel activo en el ambiente controversial de su
época. Como fiel protestante, escribió en 1 593, lo que sería su trabajo más
importante: un libro acerca del descubrimiento de la revelación. El libro le
hizo famoso no sólo en Escocia, sino también en el resto del continente, al ser
éste el primer libro en Escocia que trataba sobre la interpretación de la
Biblia. Su contribución a las matemáticas significó un pasatiempo para él, ya
que con frecuencia se encontraba trabajando en sus estudios de teología. Uno de
sus más reconocidos logros fue la invención de los logaritmos. Murió el 4 de
abril de 1 617 en Edimburgo, Escocia.
La
geometría analítica: Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este
método. Lo único cierto es que se publica por primera vez en 1637 como
"Geometría analítica", apéndice al Discurso del método,
de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y
utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar
Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar
ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados
matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas
líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático
y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Lo novedoso de la
geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante
fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u
otro tipo de expresión matemática. La idea que llevó a la geometría analítica
fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a
cada par ordenado de le corresponde un punto en un plano. Fue inventada
por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y como
vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las
correspondencias anteriores. Además, Descartes y Fermat observaron, y esto
es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras
geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se
pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse
como líneas o figuras geométricas.
La idea central de
toda la Geometría Analítica consiste en establecer un vínculo entre objetos
geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan
expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos
puedan encontrar una interpretación geométrica. La idea de establecer este nexo
permite por un lado, representar en forma algebraica objetos puramente
geométricos, con lo cual todo el arsenal de herramientas del álgebra se puede
aplicar a la geometría.
Breve Biografía de RENE DESCARTES (1596-1650)
Descartes fue considerado el primer hombre moderno por su
pensamiento. Pertenecía a la nobleza francesa. Estaba muy interesado en las
matemáticas, la ciencia y la filosofía, y decidió combinar sus propósitos
intelectuales con los viajes. Pasó varios años viajando por Europa,
frecuentemente como caballero voluntario en diversos ejércitos. Fue un militar
francés de fortuna, un matemático y un filósofo. La Iglesia Católica Romana del
siglo XVII discrepaba con las enseñanzas de los filósofos naturalistas, quienes
aseguraban que el cuerpo humano operaba, en gran medida, igual que una máquina.
Esto sugirió a algunos que la mente, como el cuerpo, quizás obedeciera también
la ley natural. Descartes "resolvió" este problema reformulando
las enseñanzas de Tomás de Aquino, acercando la importancia del libre
albedrío, y aseverando que si bien es cierto que el cuerpo opera en gran parte como
una máquina, la mente pertenece al alma, y no está sujeta a las leyes de causa
y efecto. Esta es la doctrina del dualismo, para la cual cuerpo y mente
son sustancias netamente definidas.
Una de las más célebres declaraciones de Descartes
fue: Cogito ergo sum, que significa: "Pienso, luego existo". A
raíz de su énfasis en la primacía del pensamiento, puede decirse que Descartes
prefiguró la posterior importancia asignada en psicología a la cognición.
También
argumentó que debía existir un universo externo al Yo pensante, un universo no
opaco a las facultades cognoscitivas del hombre. Escribe el famoso libro
"Discurso del método" (1637), donde expone que podemos dudar de todo
(de lo que percibimos), pero de una cosa no podemos dudar, de que estoy
dudando; y si estoy dudando es que pienso, y si pienso es que existo. De aquí
su famosa frase "pienso, luego existo" (cogito ergo sum).
La
teoría de números: probablemente
la obra de Diofanto resultaba demasiado poco práctica para los matemáticos
aplicados, y demasiado algorítmica y combinados pero lo cierto es que llamo
fuertemente la atención de Fermat, que posiblemente gracias a ellos se
convirtió en el creador de la moderna teoría de números. Muchos de los aspectos
del tema le fascinaron, incluidos los números perfectos y amigos, los números
figurados, los cuadrados mágicos, las ternas pitagóricas, la teoría de
divisibilidad y sobre todo, los números primos, algunos de sus teoremas los
demostró por un método que el mismo llamo de <<descenso infinito>>,
una cierta forma de inducción matemática a la inversa, procedimiento que Fermat fue de los primeros en utilizar.
Para ilustrar la aplicación de descenso infinito, veamos, un ejemplo en la
demostración de un hecho bien conocido desde antiguos, el de que Ö3 no es
un número racional
Geometría: El tratamiento de las cónicas por Descargues
encierra una gran belleza, a pesar de que el lenguaje que utiliza es
francamente exótico. A una sección cónica le la un coup de rouleau, es decir,
algo así como <<golpe de
rodillo>>, casi el único de sus muchos términos nuevos que ha sobrevivido
hasta nosotros, es la palabra de distancias a otro fijo es una constante
Teoría de ecuaciones: A principio
del siglo XVI, a través de los textos de Fibonacci e incluso la summa de
Arithmetica, Geometría proportioni te proportionalita de Luca Pacioli, la
ciencia y la cultura de influencia
italiana tuvieron acceso a la esencia del saber árabe. El comienzo de una
verdadera teoría de ecuaciones se atribuye generalmente a Viete,
matemático francés de finales del siglo XVI. Si bien
todavía se niega a incorporar los avances de Bombelli, es decir, los números
negativos imaginarios, el resultado más celebrado es probablemente lo que
actualmente se califica de cálculo utilizado letras.
Viete introdujo una segunda categoría de
letras para los coeficientes. Estos son también valores que se consideran como
fijados, incluso si no se les conoce, es
el que ahora se llama un parámetro, el segundo aporte de Viete consiste en el
desarrollo de un lenguaje simbólico que permita expresar de forma simple
cualquiera expresión polinómicas.
Nacimiento del cálculo: Newton y
Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón
en una larga cadena iniciada muchos siglos antes fueron quienes dieron a los
procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, la unidad algoritmo y la precisión necesario
como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior.
Esto desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como
Torricelli, Cavalieri, etc.
Entre los cálculos que se realizaban estaban:
·
Encontrar
la tangente a una curva en un punto
·
Encontrar el valor máximo o mínimo de una
cantidad
·
Encontrar la longitud de una curva, el area
de una región y el volumen de un solido
·
Dada una formula de la distancia recorrida
por un cuerpo en cualquier tiempo
conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier
instante. Recíprocamente dada una formula en la que se especifique la
aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia
recorrida por el cuerpo en un periodo de tiempo conocido.
Ecuaciones Diferenciales: El nacimiento de las ciencias de ecuaciones
diferenciales se fijaría el 1 de noviembre de 1675, cuando Leibnitz asentó en
un papel la ecuación integral de y diferencial de e igual a la mitad del
cuadrado de y. En símbolos de
Leibnitz ò
ydy = (y^2)/2.
Newton
formulo la ley de la gravitación, resolviendo el sistema de ecuaciones
diferenciales correspondientes para probar que la tierra se mueve alrededor del
sol, describiendo aproximadamente una
elipse, uno de cuyos focos es el sol, las ecuaciones diferenciales han cumplido
un rol destacado en el desarrollo de las teorías y su implementación en la
radio, radar, televisión , electricidad general.
Probabilidad: La
definición de probabilidad surge debido al deseo del ser humano por conocer con
certeza los eventos que sucederán en el futuro. Es por eso que a través de la
historia se han desarrollados diferentes
enfoques para tener un concepto de la probabilidad y determinar sus valores.
Pierre
Simón (1774) hizo el primer invento para deducir una regla para la combinación
de observaciones a partir de los principios de la teoría de los principios de
las teorías de las probabilidades, representando la ley de probabilidad de
error con una curva y=f(x), siendo x
cualquier error e (y) su probabilidad, y
expuso tres propiedades de esta curva:
·
Es
simétrica al eje y
·
El
eje x es asíntota, siendo la probabilidad del error ¥
igual a 0
·
La
superficie cerrada es 1, haciendo cierta
la existencia de un error.
tomado de
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