1) Los documentos cuneiformes: La civilización mesopotámica de la antigüedad suele llamarse de una manera ambigua y genérica babilónica, a pesar de tal designación no es estrictamente correcta. En periodos posteriores el centro de la altura asociaba con los 2 ríos, pero lo cierto es que el uso ha sancionado el adjetivo convencional e informal de << babilonia>> continuo desarrollándose, el uso generalizado de las escrituras cuneiformes impulso un fuerte lazo unificador: leyes, listas de impuestos, cuentos, lecciones escolares, el uso de la escritura fue conocido por descubrimientos de cientos de tablillas de arcilla en Uruk que data hace 5000 años. Entre los registros pictográficos tenemos » simbolizaba el agua, con el paso de tiempo se disminuyeron los signos y se utilizaban la tercera parte de los 2000 signos que inicialmente se empleaban; después de la conquista se vio influenciada la escritura ; en el principio se escribió en columnas de arriba abajo y de derecha a izquierda, mas adelante la tabilla se giro 90° en sentido contrario a las manecillas de reloj y posteriormente se escribió en filas horizontales de arriba abajo y de izquierda a derecha; el sistema decimal cuya base fundamental fue 60 se implemento por la metrología.
2)
La numeración posicional: El sistema de numeración cuneiforme de los babilonios
procedía para los números enteros pequeños, según el mismo esquema que los
jeroglíficos egipcios, el cambio ocurrió hace mas de 4000 años con la invención
del sistema posicional, los antiguos babilonios se dieron cuenta de que sus
símbolos podían representar un papel doble, triple, cuádruple, etc.,
simplemente asignándoles valores que dependen de su posición relativa
en la representación gráfica de un numero. Las cuñas que componen la expresión
cuneiforme para el 59 están agrupados estrechamente de manera que forman casi
un único símbolo, de tal forma que espaciando
adecuadamente estos grupos de cuñas se pueden determinar sin ambigüedad
la posición relativa, al leer de derecha
a izquierda que corresponden a las sucesivas potencias crecientes de base y así
cada grupo tendrá entonces un << valor local>> que dependerá
solamente de su posición. La mayor parte de las contribuciones importantes en
matemáticas se remontan al primer periodo, el más antiguo, pero hay una
concreta de la que no tenemos ninguna evidencia hasta casi el 300 a. C.
3)
Las fracciones sexagesimales: El secreto de la superación evidente de la aritmética y el álgebra babilónica sobre la egipcia se basa indudablemente en que
<<aquellos que Vivían entre los dos ríos>> extendieron el principio
posicional a las fracciones y no solo los números enteros; hay una tablilla en
la colección de Yale que data de la época babilónica antigua y que incluye el
cálculo de la raíz cuadrada de 2 con tres cifras << decimales>> sexagesimales resultado que aparece y se
transmite como 1;24,51,10 donde el punto y como representa la separación entre
la parte entera y la fracción; el valor de
= 1,414222, con 0,000008 de diferencia del
actual.
4) Las operaciones fundamentales: Los matemáticos
mesopotámicos eran muy hábiles inventando métodos algorítmicos y también su
sistema de numeraciones los favorecían entre estos encontramos el algoritmo para
calcular raíces, que se hacía a través de una aproximación método muy sencillo
atribuido a varios matemáticos como Herón de Alejandría y los griegos arquitas,
para realizar el procedimiento se toma un valor aproximado a (a) que llamamos a1 , el valor de a lo dividimos por a1
,este lo llamamos
b1 así
b1 = a/ a1 ,luego hallamos la media de a1 y b2 , es
decir,( a1+ b2) /2
que llamaremos a2 , los mesopotámicos no conocían los
valores exactos pero de esta manera lograban una aproximación; los matemáticos
mesopotámicos eran muy eficientes pero a pesar de esto siempre trataron de
imitar al matemático moderno pues siempre recurrían a los cuneiformes de las
que disponían, con respecto a la división utilizaban un método muy sencillo
también se utilizaba una multiplicación del dividendo por el inverso del
divisor.
5) Problemas algebraicos: Aunque no se conocían mucho, existe
una tabla de la cual hacían mucho uso los babilonios y que no es muy común
encontrar en los textos, esta se trata de la tabulación de los valores de
para
valores de n que jugó un papel muy esencial en el álgebra babilónica, algunos
de las cosas que hoy conocemos tomaron su tiempo en ser planteadas o
simplemente eran conocida con otras notación como es el caso de la expresión
ya que en esa época no se usaban letras para
plantear incógnitas pues aun no existía
el alfabeto pero con este caso ciertas expresiones como longitud, anchura y
volumen eran usados con tal fin ; un ejemplo de esto lo podemos percibir en un
libro de la época donde nos hablan de un sistema de dos ecuaciones lineales en
dos incógnitas llamadas << el primer anillo de plata>> y <<
el segundo anillo de plata>>. El álgebra egipcia se había centrado exclusivamente en las ecuaciones lineales pero las babilónicas las consideran muy elementales
como para centrarle demasiada atención.
6) Las ecuaciones cuadráticas: las resoluciones de dichas ecuaciones
cuadráticas completas al parecer no supero mucho la capacidad de los egipcios;
pero fue el señor Neugebaver quien
descubrió en 1930 que tales ecuaciones habían sido manejadas con gran soltura
por los babilónicos; en algunos de los textos más antiguos que hoy día
conocemos problemas en los cuales su resolución es totalmente equivalente con
la que resumidas cuantas nos lleva a la formula cuadrática conocida por los
escolares, la solución de ecuaciones cuadráticas de la forma
donde p y q son positivos; hubo que esperar
hasta la época moderna ya que dicha ecuación no contiene raíces positivas, así
en la época antigua y medieval las ecuaciones cuadráticas se clasificaron en 3
tipos que reducidas son:
,
,
y todos estos tipos los encontramos en los
textos babilónico de hace unos 4000 años, los problemas en los que se pueden
hallar dos números dado su producto y/o bien su suma o diferencia son tan
abundantes considerando <<forma normal>> al que se podían reducirse las ecuaciones
cuadráticas.
7) Ecuaciones cubicas: En este sentido los babilonios
superaron a los egipcios, ellos poseían unas tablas cubicas o de raíces cubicas
que utilizaban para resolver cubicas puras como:
=
0;7 ,30 donde
= 0;30; para los valores que no aparecían en la tabla utilizaban un
método llamado interpolación lineal, para las mixtas como
usaban tablas y sumas ; para las de tercer
grado se empleaba el método de sustitución, las cubicas de la forma
se reducían a la forma canónica babilónica
multiplicando a ambos lados por
para obtener
la resolución de ecuaciones cuadráticas y
cubicas en Mesopotamia constituyo un logro notable que hay que admirar no tanto
por el nivel de habilidad técnicas puesta en juego como por el nivel de madurez
y de flexibilidad de los conceptos algebraicos que intervienen en el proceso.
8) Las ternas pitagóricas: La tablilla 322 que conserva la
universidad de Columbia contiene una serie de números organizadas de
hasta
, lo
que lleva a concluir que estos valores no están organizados al azar, más bien
hacen parte de una posible terna pitagórica de los lados de un triangulo
rectángulo para dos valores distintos p y q con p < q manejaban las
operaciones
y
, estos triángulos dejaban a el lado a < b
con lo que arrojaban 38 ternas pitagóricas de la cual se pudieron encontrar 15
ordenadas por la razón
posiblemente en los restos que conocemos como
,
las tablillas mesopotámicas contienen solo casos concretos, sin ninguna
formulación general.
9) Áreas de polígonos: La geometría no era para ellos una
teoría matemática en el sentido en que lo es para nosotros, sino un cierto tipo
de aritmética o álgebra aplicada en las que las figuras venían representadas por medio de números.
Hay división de opciones acerca de si los babilonios estaban familiarizados o
no con el concepto de semejanza de figuras aunque parece muy probable que si lo
estuviesen. La semejanza entre todas las circunferencias parece haber sido dado
por descontado en Mesopotamia, como lo fue también en Egipto y los muchos
problemas sobre medidas de triángulos que aparecen en las tablillas cuneiformes
parecen sugerir un cierto concepto de semejanza.
10) Geometría como aritmética
aplicada : Los problemas de
medida constituyen el núcleo de la geometría algebraica desarrollada en el
valle mesopotámico, hay un defecto aquí al igual que en la geometría egipcia y
es que nunca estuvo claro la distinción entre medida exacta y aproximada; sus
técnicas:
- El área de un cuadrilátero se calcula haciendo el producto de las medidas aritméticas de los pares de los lados opuestos( aproximación )
- El volumen de un tronco de cono o de
pirámide se calculaba a veces tomando la medida aritmética de las áreas de las
dos bases y multiplicando por la altura o aplicaban la formula
- En las tablillas que datan del periodo babilónico antiguo, muestra que Mesopotamia utilizaba mucho el teorema de Pitágoras y no se limitaba en absoluto al caso de los triángulos rectángulos isósceles
- Los textos cuneiformes antiguas nos ofrecen una gran variedad de ejercicios que consideran geometría, pero para los babilonios los consideran como aritmética aplicada
- Los babilonios conocían otras relaciones geométricas como los egipcios, ejemplo: que dada la longitud de una cuerda en una circunferencia de radio dado, podía calcular la apotema correspondiente.
11) Imperfecciones matemáticas: Hay
ciertos números de definiciones obvias en las matemáticas prehelénicas, tanto
los papiros como las tablillas que han llegado hasta nosotros, contienen
únicamente problemas concretos y casos especiales, hay un sentido positivo en
este sentido puesto que los cientos de problemas de tipo muy parecidos que
aparecen en las tablillas cuneiformes
tienen todo el aspecto de ser ejercicios que debían resolver escolares,
siguiendo ciertos métodos conocidos o reglas generales ( que hasta el momento
se desconocen, pero en su momento era aplicadas) había ausencia de una
distinción clara entre los resultados exactos y los que solo aproximados pero la
aparición de números sexagesimales irregulares parecen implicar alguna forma de
reconocimiento a la distinción.
- Los babilonios parecen haberse planteado la cuestión de cuando es exacto el cálculo del área de un circulo y tampoco se vislumbra ninguna investigación sobre las ideas de lo que debe ser una demostración
- Los escribas prehelénicos frecuentemente comprobaban o “ demostraban” sus divisiones por medio de la multiplicación inversa y comprobaban si era correcto, sustituyendo el resultado en las condiciones dadas, sin embargo no se tiene alguna afirmación explicativa de que hacían demostración por esto se afirma frecuentemente que la civilización prehelénica no tuvieron una verdadera matemática, a pesar del alto nivel con el que muestran sus conocimientos
- En muchos de los problemas mesopotámicos habría que interpretar quizás la palabra “longitud” y “anchura” tal y como nosotros interpretamos las letras x , y en nuestras ecuaciones
- Se puede evidenciar el interés tanto de egipcios y babilonios en los números y sus aplicaciones
- En Egipto y babilonia algunos tipos d problemas llevan la marca indudable de la matemática recreativa
- Algunos sostienen que las matemáticas babilonias estaban dirigidas exclusivamente a objetos prácticos
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