martes, 22 de septiembre de 2015
Las matemáticas en el Renacimiento
Sin duda fue más difícil el ingreso en Europa de trabajos matemáticos
que aquellas obras de literatura, filosofía o de ciencias naturales. Por
ejemplo, la complejidad o dificultad de textos griegos como los de Euclides o
Arquímedes hacía más difícil que se pudiera apreciar el valor de estas obras.
Por eso, aun con traducciones de los clásicos ya realizadas, se requirió mucho
mayor tiempo y otros trabajos adicionales para que esas obras pudieran ser
apreciadas en su justa magnitud. En buena medida, los aspectos que más se
tocaron fueron los más elementales de las matemáticas. Las nuevas actitudes
empujaron hacia una descripción cuantitativa del universo; sin embargo, esta etapa
histórica y cultural no produjo grandes logros en las matemáticas. La
importante, sin embargo, estaba en las condiciones sociales y culturales y más generales
que servirían como un pivote y una plataforma importante para el progreso del conocimiento,
las técnicas, las matemáticas.
De la Edad Media emergió una visión sobre la realidad que
incluyó la idea cristiana de un plan que integra las cosas con la figura de
Dios como un arquitecto y diseñador matemático del mundo. Se trataba de una
doctrina presente durante los siglos XVI y XVIII que inspiró a los científicos
del Renacimiento y de la Revolución Científica, como Copérnico, Galileo,
Kepler, Newton o Leibniz. Para estos intelectuales, por medio de las
matemáticas se desentrañaba el diseño divino. Un elemento importante en la
expansión del conocimiento y un fundamento de la ciencia moderna fue la
traducción a lenguajes populares de varias obras griegas. Una traducción
importante realizada en 1 543 fue hecha por Tartaglia: los Elementos de
Euclides, del latín al italiano. En los siguientes años otros siguieron esta
dirección, como Descartes y Galileo. Las matemáticas para progresar requerían
el florecimiento de las ciencias y esto, en general, sólo podía hacerse a
través de una ruptura con la autoridad. Era necesario un cambio en la metodología
de la ciencia que, en particular, se desprendiera de la escolástica y de ese
matrimonio acrítico con las obras griegas. En esa dirección, Leonardo da Vinci
(1452 - 1519) es una de las más importantes referencias. Planteaba una actitud
práctica frente a los métodos y conceptos medievales. No obstante, no estableció
una metodología ni una filosofía de las ciencias plenamente. Su aproximación
era más bien empírica e intuitiva. Ya volveremos a las rupturas con los métodos
medievales y la construcción de una nueva metodología en las ciencias y las
matemáticas. Finalmente, a manera de valoración: "En el Renacimiento las
matemáticas tuvieron aplicación en la mecánica, el arte, la agrimensura, la contabilidad,
la cartografía y la óptica. En general, se trataba de aplicaciones elementales
o que recurrían a dimensiones de poco nivel matemático. También, en el mismo
periodo, hubo interés por las obras griegas de mayor complejidad, pero no de
una manera muy extendida. La ausencia de traducciones latinas de autores como
Apolonio, Arquímedes, o Pappus era una debilidad.
Trigonometría
Con relación a la trigonometría debe decirse que, aunque los
peritos usaban los métodos geométricos romanos, se empezó a usar algo de
trigonometría plana con un método iniciado por Leonardo de Pisa en su Practica
Geometriae (1 220).
Otros avances fueron hechos por el mismo George Peurbach
(1423 - 1461) de Viena, quien ofreció tablas trigonométricas más precisas y
corrigió algunas traducciones latinas del Almagesto que habían sido realizadas
desde versiones árabes y no griegas. El más conocido, sin embargo, fue Johannes
Müller (1436 - 1476), el famoso Regiomontano, que fue discípulo de Peurbach y
del cardenal Bessarion (c. 1400 - 1472). Regiomontano no solo haría varias
traducciones de obras griegas sino que también estableció su propia imprenta
para imprimirlas. Entre ellas las Secciones Cónicas de Apolonio y partes de
Arquímedes y Herón. Se sabe que en su libro De Triangulis, 1462 - 1463,
Regiomontano se benefició de algunos trabajos árabes para expresar de una mejor
manera el conocimiento disponible sobre trigonometría plana, geometría
esférica, y trigonometría esférica.
Aritmética y álgebra
A principios del siglo XVI, el cero y los irracionales se
aceptaban, más o menos en la tradición de los árabes e hindúes. Cardano,
Stevin, Pacioli y el alemán Michael Stifel introdujeron nuevos tipos de
irracionales. Vieta dio una aproximación del número p usando otras formas de
irracionales. Stifel en su obra Aritmética Integra de 1 544 usó irracionales en
forma decimal, aunque tenía sus dudas acerca de la naturaleza de los mismos, a
los que no consideraba exactamente números de verdad. Las dudas sobre los
irracionales siguieron por siglos. Pascal y Barrow opinaron que números como la
Ö3 eran simplemente
magnitudes geométricas, o sea eran símbolos sin existencia independiente más
allá de esas magnitudes, y acudían a la teoría de las magnitudes de Eudoxo para
justificar la operación con ellos. Stevin, por el contrario, afirmaba que los
irracionales eran números independientes, e incluso los aproximó por medio de
números racionales. En la misma dirección, John Wallis y Descartes llegarían a
afirmar que los irracionales eran números.
Inventos de la época
tomado de https://books.google.com.co/books?id=Q7gc9S63WDYC&pg=PA201&lpg=PA201&dq=Sin+duda+fue+m%C3%A1s+dif%C3%ADcil+el+ingreso+en+Europa+de+trabajos+matem%C3%A1ticos+que+aquellas+obras+de+literatura,+filosof%C3%ADa+o+de+ciencias+naturales.+Por+ejemplo,&source=bl&ots=7MN-xvm-Xj&sig=cOy6a92Tv_FNMU_tVk5-vVLqCzU&hl=es-419&sa=X&ved=0CCwQ6AEwAWoVChMI37nembflyAIVAdQeCh2GsArG#v=onepage&q=Sin%20duda%20fue%20m%C3%A1s%20dif%C3%ADcil%20el%20ingreso%20en%20Europa%20de%20trabajos%20matem%C3%A1ticos%20que%20aquellas%20obras%20de%20literatura%2C%20filosof%C3%ADa%20o%20de%20ciencias%20naturales.%20Por%20ejemplo%2C&f=false , https://books.google.com.co/books?id=Q7gc9S63WDYC&pg=PA205&dq=Con+relaci%C3%B3n+a+la+trigonometr%C3%ADa+debe+decirse+que,+aunque+los+peritos+usaban+los+m%C3%A9todos+geom%C3%A9tricos+romanos,+se+empez%C3%B3+a&hl=es-419&sa=X&ved=0CBsQ6AEwAGoVChMI_fvFw7flyAIVQtYeCh0woQxL#v=onepage&q=Con%20relaci%C3%B3n%20a%20la%20trigonometr%C3%ADa%20debe%20decirse%20que%2C%20aunque%20los%20peritos%20usaban%20los%20m%C3%A9todos%20geom%C3%A9tricos%20romanos%2C%20se%20empez%C3%B3%20a&f=false
Las matemáticas medievales
Entre los siglos XII y XV se desarrolló cierto nivel de vida
matemática. Nuestra primera referencia es Leonardo de Pisa (c. 1 170 - 1 250),
más conocido como Fibonacci, quien escribió en el año 1202 el famoso Liber
Abaci (Libro del ábaco). En este libro introdujo los métodos de cálculo hindú
con enteros y fracciones, las raíces cuadradas y cúbicas. Tanto en este libro
como en el que publicó en 1 225, Liber Quadratorum, estudió el álgebra, aunque
usando palabras más que símbolos y basando sus resultados en métodos
aritméticos. Ofreció soluciones de ecuaciones determinadas e indeterminadas
tanto para ecuaciones de primer y segundo grado como para algunas cúbicas. En
su Practica Geometriae, 1 220, introduce resultados de los Elementos de
Euclides y un poco de trigonometría griega. Leonardo se dio cuenta de que en el
Libro X no se introducían en la clasificación de irracionales todos ellos, y
que las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado no podían ser construidas
por el método de la regla y el compás.
Otra referencia importante, esta vez en las matemáticas, es
Oresme (c. 1 323 - 1 382). En Algoritmus Proportionum (c. 1 360) introdujo
cómputos con exponentes fraccionarios. En otros trabajos, De Uniformitate et
Difformitate Intensionum y Tractatus de Latitudinibus Formarum, Oresme
consideró la razón de cambio, y estableció una forma de representación que se
ha llegado a afirmar como precursora de la representación en coordenadas. Ya
volveremos a esto. De hecho, también, se le atribuye una contribución al
concepto de función y a la representación gráfica de leyes físicas. Brunschvicg
así lo apunta: "Le Tractatus de Latitudinibus Formarum (cuya influencia
fue grande y duradera hasta tal punto que, desde el descubrimiento de la imprenta,
cuatro ediciones se sucedieron de 1 442 a 1 515), enseña a representar las
variaciones de cualquier magnitud que sea, transportando sobre una superficie
plana las líneas de señal que habían sido hasta el momento trazadas sobre una
esfera. Los grados del fenómeno natural se describen por la ordenada; y constituyen
así lo que Oresme llama latitud de la forma; la longitud, es decir la línea de
las abscisas, describe los tiempos correspondientes''. [Brunschvicg, Leon: Les
etapes de la philosophie mathematique, p. 103.]Muchos historiadores opinan que
la Europa medieval, a pesar de algunas actividades y tendencias culturales o
cognoscitivas, difícilmente podría haber realizado por sí misma un progreso
sustancial en las ciencias y las matemáticas. Contra eso conspiraban la ausencia
de pensamiento libre, el control dogmático de las principales escuelas de
formación (que impedía a los profesores e intelectuales la posibilidad de una
enseñanza y un pensamiento crítico y científico), la represión institucional de
carácter religioso cuyo signo más evidente fue la Inquisición, iniciada por el
Papa Inocente III en el siglo XIII.
La Edad Media europea
Se dice que la Iglesia Católica medieval fue ambivalente
hacia la ciencia y filosofía griegas. El dilema que enfrentó era cómo definir
las fronteras entre la razón y la fe, y cómo integrar el conocimiento
científico de la Antigüedad (pagano). Los fundadores de la iglesia católica
también eran conscientes de la influencia "corrupta'' que las filosofías
racionales y los sistemas místicos podían ejercer sobre la nueva religión. San
Agustín en el siglo V d.C. ofreció una solución parcial a este problema. No
obstante, con las consecuencias de la invasión germana y el colapso del Imperio
Romano de Occidente en el siglo V, pospusieron el debate acerca del papel de la
ciencia racional pagana en una sociedad cristiana por lo menos por siete
siglos. Mientras la civilizaciones de los egipcios, babilonios, bizantinos,
chinos y romanos florecían, la región europea, salvo por Italia y Grecia,
estaba constituida por culturas muy primitivas. En los territorios de lo que
había sido el Imperio Romano de Occidente, la Iglesia Católica ya había adquirido
una gran relevancia política y religiosa. Los bárbaros germanos y godos fueron convertidos
al Cristianismo, se establecieron monasterios que usaron algunos pedazos de la enseñanza
griega y romana, pero con una orientación dirigida hacia los servicios
religiosos y las sagradas escrituras. El origen de escuelas de formación
superior, las universidades, se dio sobre todo como producto de las necesidades
de formación en el clero. La ciencia griega, con todo y sus limitaciones, había
ofrecido dos metodologías o aproximaciones en la construcción científica y
matemática. Por un lado, aquella que subrayaba el papel de la deducción lógica
y la reducción a primeros principios. Una visión racionalista, si se quiere. Y,
por otra parte, aquella que afirmaba métodos inductivos y heurísticos, que
estaban asociados a una influencia de culturas y tradiciones no occidentales,
que se puede apreciar muy bien en la ciencia alejandrina. Ambas aproximaciones,
sin embargo, se basaban en la razón, la mente como recurso de base. En el mundo
cristiano el énfasis, durante siglos, pasó a la fe, fuera de la razón. Y esto
fue un auténtico obstáculo para el progreso de las ciencias y el pensamiento en
general. Debe mencionarse la contribución crítica de algunos escolásticos contra
la autoridad aristotélica: Robert Grosseteste (c. 1168 - 1253) y Roger Bacon
(1214 - 1294), el Doctor Mirabilis, quienes introdujeron las matemáticas y el
método experimental en el territorio de la ciencia y, también, contribuyeron a
la discusión sobre la naturaleza de la luz y el color. Bacon era un erudito, el
cual sostenía que, además -por supuesto- de estudiar las sagradas escrituras,
las matemáticas y la experiencia era importantes para el conocimiento; en su
Opus Majus fue drástico: todas las ciencias requieren matemáticas.
En este escenario se potenció una visión diferente sobre la
ciencia: el nominalismo, cuya figura clave fue William de Ockham o Occam (c. 1
300 - 1 349). Esta filosofía fue un instrumento importante para la redefinición
de las esferas en las que debían moverse la religión y la ciencia, debate que
tuvo un lugar privilegiado posteriormente en el siglo XVII. Es decir, dentro de
los mismos escolásticos hubo cuestionamientos importantes con relación a la
actitud dogmática y acrítica hacia el pensamiento de Aristóteles. Ockham,
también, privilegiaba la experiencia por encima de las construcciones meramente
racionales. Para Russell: "Al insistir en la posibilidad de estudiar la
lógica y el conocimiento humano sin referencia a la metafísica y a la teología,
la obra de Occam estimuló la investigación científica. Los agustinianos -decía-
erraron al suponer primero las cosas ininteligibles y a los hombres
ininteligentes, y añadiendo luego una luz del Infinito por medio de la cual se
hacía posible el conocimiento. Coincidió en esto con Aquino, pero difirió en
cuanto al acento, pues Aquino era primordialmente un teólogo y Occam era, en lo
que se refiere a la lógica, primordialmente un filósofo secular.'' [Russell,
Bertrand: Historia de la Filosofía Occidental, Tomo II: La Filosofía Moderna,
p. 95] Sus sucesores en el Merton College, en Oxford, introdujeron razonamiento
cuantitativo y física a través de la noción de movimiento acelerado. Entre
tanto, en París, Jean Buridan y otros más, elaboraron el concepto de ímpetus,
que sería importante en los años siguientes.
tomado de http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte3/Cap10/Parte03_10.htm
tomado de http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte3/Cap10/Parte03_10.htm
lunes, 21 de septiembre de 2015
La india
La matemática hindúes tienen una
historia muy larga. Si bien el llamado periodo clásico, que arranca en el 500
d.C. es el mas importante, hay tradiciones que se remontan mas de 2000 anos
hacia atrás. Del periodo que va del 3000 al 1500 a.C. una referencia es la cultura
Harappā, con descubrimientos que salieron a la luz publica cuando se hicieron excavaciones
en los anos 1921 y 1923 en el Valle del Indo, con una característica especial:
el uso de ladrillos cocidos en hornos, que colocados en edificios parecieran sugerir
el uso de una base decimal.
Matemáticas védicas: Entre el 1 500 y el 800 a.C. se habla del periodo de las matemáticas
védicas. Los Vedas eran colecciones de literatura en las que, entre muchas
otras cosas, se encuentra matemática. Esto, en particular, en unos
"apéndices'' llamados Vedangas. Entre ellos, los Sulbasutras trataban de construcción
y medidas de altares sacrificiales, y aquí había geometría. Hubo 3 de ellos
relevantes para las matemáticas, escritos, respectivamente, por: Baudhayana, Apastamba
y Katyayana. El primero formula el teorema de Pitágoras, da un procedimiento
para calcular la correcta hasta la quinta cifra decimal, y diversas
construcciones geométricas. El segundo amplía estos temas. El último no añade
mucho. La geometría aquí provenía de la integración de orientación, forma y
área de los altares, según las prescripciones de los libros sagrados védicos.
Había resultados geométricos, procedimientos de construcción de altares y algoritmos.
El teorema de Pitágoras está incluido de la siguiente manera, por ejemplo, por Katyayana: "La soga (estirada a lo largo de la
longitud) de la diagonal de un rectángulo produce un (área) que producen
conjuntamente los lados horizontal y vertical''. En la construcción de un altar
aparecen varios tripletes pitagóricos, incluso con números irracionales.En las construcciones geométricas que planteaban, había cuadrados,
rectángulos, trapecios y círculos, que se debían construir con restricciones de
área. Un par de ejemplos: "Fusionar dos cuadrados iguales o desiguales
para obtener un tercer cuadrado'', "transformar un rectángulo en un cuadrado
de la misma área''. Las matemáticas
védicas incluyen aproximaciones a raíces cuadradas. Se presume que esto se originó
al intentar resolver el problema de construir un altar cuadrado que tuviera
como área el doble de un cuadrado dado.
El periodo clásico : Empezamos
citando algunos astrónomos y matemáticos: Aryabhata I (nació alrededor del 476 d.C.),
Brahmagupta (alrededor del 598), Mahavira (ca. 850), Sridhara (ca. 900),
Bhaskara (nació 1 114), Narayana Pandit (ca. 1 370), Madhava de Sangamagramma
(ca. 1 340 - 1 425) y Nilakantha Somayaji (1 445 - 1 545). Aryabhata I, en un
libro que se titula Aryabhatiya, da una descripción del conocimiento científico
de la época, incluye un sistema de notación numérico alfabético, reglas de
operaciones en aritmética y trata procedimientos para resolver ecuaciones
simples y cuadráticas, y, también, ecuaciones indeterminadas de grado uno. Hay,
además, trigonometría, la que incluye las funciones seno, una función que se
llamaba seno verso que es igual al 1-coseno. Dio el valor de 3,1416 para Su
obra fue continuada por Varahanihira (ca. 505 - 587) y por Bhaskara (ca. 600).
Este último ofreció una solución de ecuaciones indeterminadas de primer grado,
que ejerció una importante influencia sobre Brahmagupta. Brahmagupta, en una
obra llamada Brahma Sputa Siddhanta, ofreció un método para la resolución de
ecuaciones indeterminadas de primero y segundo grados. En otra obra, Khanda
Khadyaka, en trigonometría dio un procedimiento para calcular los senos de ángulos
intermedios con base en una tabla dada de senos. Se dice que era equivalente a
la fórmula de Newton-Stirling hasta las diferencias de segundo orden. El primer
libro fue traducido por los árabes y luego por los europeos, con lo que así se
ofreció a Europa el conocimiento de la astronomía y matemáticas hindúes. Mahavira,
matemático y no astrónomo, sintetizó y amplió los resultados de Aryabhata,
Bhaskara y Brahmagupta. Se afirma que su obra Ganita Sara Samgraha es una
culminación de los trabajos y tradiciones de los jainistas. Por ejemplo, en las
permutaciones y combinaciones. Dio soluciones a varios tipos de ecuaciones de
segundo grado. Amplió el tema de la ecuaciones indeterminadas. Y trabajó en
geometría con triángulos rectángulos de lados racionales. Sridhara, en
Pataganita, ofreció un método para sumar series aritméticas y geométricas que
sería relevante posteriormente. Se considera una culminación de 500 años de
trabajos matemáticos la obra de Bhaskara II (llamado también Bhaskaracharya:
"maestro Bhaskara''), Lilavati. Un ejemplo, un método para resolver ecuaciones
indeterminadas de la forma (método "cíclico''). Este método fue redescubierto
por William Brouncker en 1 657. Se afirma que en su obra hay rastros de
análisis y cálculo infinitesimal. Se considera que Madhava de Sangamagramma fue
probablemente el más importante de los astrónomos medievales de la India.
La escuela de Kerala: Kerala es un territorio en el suroeste de la India. En la
década de 1 940, investigadores hindúes, con Rajagopal al frente, retomaron un
artículo escrito en 1 835 por Charles Whish, en el que se afirma la existencia
de importantes resultados en las matemáticas de Kerala, que formaron toda una escuela.
Cuatro obras señalaba Whish que eran las claves para la astronomía y las
matemáticas: Tantra Samgraha (Nilakantha), Yuktibhasa (Jyesthadeva), Karana
Paddhati (Putumana Somayaji) y Sadratnamala (Sankara Varman). Estas obras
incluían, según Whish, cálculo infinitesimal, series de Gregory y Leibniz para
la tangente inversa, series de potencias de Leibniz para y la de Newton para el
seno y el coseno (atribuidas a Madhava). Además, aproximaciones racionales a
funciones trigonométricas: la serie de Taylor, entre ellas. Estos últimos
resultados obtenidos sin usar el cálculo infinitesimal. Las series infinitas de
al parecer, estaban asociadas a la astronomía. Igual con los desarrollos para
las funciones trigonométricas. Es decir: para obtener tablas cada vez más
precisas para utilizar en los cálculos astronómicos. Tal era la precisión que
Madhava obtuvo valores correctos hasta la posición decimal 8 o 9. Esto sería
obtenido por los europeos 200 años después. Para algunos autores recientes, sus
trabajos podrían considerarlo el fundador del análisis matemático. En la India
existen otros temas matemáticos de interés. Por ejemplo, el estudio de series
aritméticas por medio de diagramas. Esta aproximación geométrica permitía
ofrecer cierto grado de convencimiento de los resultados.
Las matemáticas griegas
Se refieren a las matemáticas
escritas en griego (c. 600 a.C.- 450 d.C.). Los matemáticos griegos vivían en
ciudades repartidas por todo el Mediterráneo Oriental, de Italia al norte de
África, pero estaban unidos por la cultura y el idioma. Las matemáticas griegas
del período posterior a Alejandro Magno a veces se denominan matemáticas
helenísticas.
Thales of Miletus
Las matemática griega fueron
mucho más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas
anteriores. Todos los registros supervivientes de las matemáticas pre-griegas
muestran el uso del razonamiento inductivo, es decir, repetidas observaciones
son utilizadas para establecer "reglas de cajón" (sin rigor estricto)
. Los matemáticos griegos, por el contrario, utilizan el razonamiento
deductivo. Los griegos usan la lógica para obtener conclusiones a partir de
definiciones y axiomas.
Las matemáticas griegas se cree
que comenzaron con Tales (c. 624-c.546 a.C.) y Pitágoras (c.
582-c. 507 a.C.). Si bien el alcance de la influencia es objeto de
controversia, probablemente fueron inspirados por las ideas de Egipto,
Mesopotamia y quizá la India. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para
aprender las matemáticas, la geometría, la astronomía de los sacerdotes
egipcios.
Thales utilizó la geometría para
resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la
distancia de los barcos a la costa. A Pitágoras se le acredita la primera
demostración del teorema de Pitágoras, aunque el eunciado del teorema tiene una
larga historia. En su comentario sobre Euclides, Proclus afirma que
Pitágoras expresó el teorema que lleva su nombre y construyó ternas pitagóricas
algebraicamente en lugar de geométricamente. La Academia de Platón tenía el
lema "Qué nadie no versado en geometría entre aquí".
Los pitagóricos descubrieron la
existencia de números irracionales. Eudoxus (408-c.355 a.C.) desarrolló el
método de exhaución, precursor de la moderna integración. Aristóteles
(384-c.322 a.C.), fue el primero que escribió las leyes de la lógica.
Euclides (c. 300 a.C.) es el
primer ejemplo del formato usado en las matemáticas actuales: definición,
axioma, teorema, demostración. También estudió las cónicas. En su libro, "Los
Elementos", fue conocido por todas las personas cultas de Occidente hasta
mediados del siglo XX. Además de los conocidos teoremas de la geometría, como
el teorema de Pitágoras, "Los Elementos" incluyen una demostración de
que la raíz cuadrada de dos es irracional y que hay infinitos números primos.
La criba de Eratóstenes (ca. 230 a.C.) fue utilizada para descubrir
números primos.
Algunos dicen que el mayor de los
matemáticos griegos, sino de todos los tiempos, fue Arquímedes (c.287-212
a.C.), de Siracusa. Utilizó el método de exhaución para calcular el área bajo
el arco de una parábola mediante la suma de una serie infinita, y dio muy
precisas aproximaciones de Π. También definió la espiral que lleva su
nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un
ingenioso sistema para expresar números muy grandes.
El aporte de los griegos a las
matemáticas es considerado como el mayor avance de esta ciencia desde la
prehistoria hasta el renacimiento. Tales de Mileto, hacia el año 600 A.C., fue
el primero en desarrollar estudios científicos sobre la geometría; se le
atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el
razonamiento lógico.
Posteriormente Pitágoras funda la
escuela pitagórica a quien se les atribuyen numerosos descubrimientos
matemáticos, entre ellos la demostración del célebre teorema que lleva su
nombre. También clasificaron las matemáticas en cuatro grandes ramas: la
aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. Tuvo notoria
relevancia la Escuela de Alejandría, a la cabeza de Euclides, uno de los
matemáticos más influyentes en la historia, publicó su obra titulada Tratado de
los Elementos, cuyo contenido ha sido la base para grandes tratados sobre
matemáticas; su aporte fue fundamental en el campo de la geometría, ciencia de
la cual es considerado como el padre.
Igualmente hizo enormes aportes
Arquímedes, el mayor matemático de la antigüedad, se le atribuye el cálculo de
PI, por aproximaciones sucesivas, la determinación del volumen del cilindro y
la esfera, la cuadratura del segmento de la parábola; fue el precursor de la
mecánica y el cálculo integral. Finalmente, en los comienzos de la era
cristiana surge un nuevo periodo de florecimiento con la Segunda Escuela de
Alejandría, se destacan Nicomán, Tolomeo, Diafanito y Pappus entre otros. Luego
viene el decaimiento del imperio, los romanos se preocuparon poco por la
profundización de los logros alcanzados por los griegos y fueron los arabes
quienes se encargaron de recoger el testimonio de esta deslumbrante cultura.
La matemática en china
En China (212 a.C.), el emperador Qin Shi Huang (Shi
Huang-ti) ordenó quemar todos los libros fuera del estado de Qin. Esta orden no
fue obedecida del todo, pero como consecuencia de ella, es poco lo que se
conoce con certeza acerca de las matemáticas de la China antigua.
De la Dinastía Zhou Occidental (desde 1046 a.C.), el trabajo
matemático más antiguo que sobrevivió a la quema de libros es el "I
Ching", que utiliza las 8 ternas binarias (trigrams) y 64 6-tuplas
binarias (hexagrams) con propósitos filosóficos, matemáticos, y/o místicos. Las
uplas binarias se componen de lineas discontinuas y continuas, llamadas Yin
"femenino" y Yang "masculino", respectivamente.
El trabajo más antiguo existente sobre geometría en China
proviene de la filosofía Mohista (c. 330 a.C.), compilado por los seguidores de
Mozi (470 a.C.-390 a.C.). El Mo Jingdescribe diversos aspectos de muchos
campos relacionados con la ciencia física, y proporcionó también un pequeño
cúmulo de información sobre las matemáticas.
Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 a.C.-220
d.C) produjo obras matemáticas que presumiblemente se ampliaron en otras que
ahora están perdidas. La más importante de ellas es Los Nueve Capítulos
sobre el Arte de Matemáticas, cuyo título completo apareció en 179 d.C., pero
que previamente existió, en parte, bajo otros títulos. Se compone de 246
problemas de palabra, que tocan la agricultura, los negocios, el empleo de la
geometría en la construcción de las torres de la pagoda china, la ingeniería, la
agrimensura, e incluye material sobre triángulos rectángulos y π. También
hizo uso del principio de Cavalieri sobre volumenes, más de un millar de años
antes de que Cavalieri lo propusiera en Occidente. Creó una demostración del
teorema de Pitágoras, y la fórmula matemática para el método de reducción
de Gauss. El trabajo fue comentado
por Liu Hu en el siglo 3º d.C.
Además, los trabajos matemáticos del astrónomo e inventor
Zhang Heng (78-139 d.C.) de la dinastia Han, tenían una formulación de π,
que difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng utilizó su fórmula de π para
hallar el volumen de la esfera. También, el trabajo escrito del matemático y
teórico de la música Jing Fang (78-37 a.C.) quien, mediante el uso de
la coma pitagórica, observó que 53 quintas perfectas se aproximan a 31
octavas. Esto daría lugar posteriormente al descubrimiento de los 53
temperamentos iguales, y no se calculó con precisión hasta que el alemán
Nicholas Mercator, lo hiciera en el siglo XVII.
Zu Chongzhi (siglo V), de las Dinastías del Sur y del Norte,
calculó el valor de π con siete decimales, que fue el más preciso
valor de π durante casi 1000 años.Los chinos también hicieron uso del
diagrama de combinatoria complejo conocido como el cuadrado mágico y
los círculos mágicos que se describían en los tiempos antiguos y que
perfeccionó Yang Hui (1238-1398 d.C.).
En los mil años siguientes a la dinastía Han, empezando con
la dinastía Tang y terminando con la dinastía Song, las matemáticas chinas
florecieron en un momento en que las matemáticas europeas no existían.
Desarrollos hechos por primera vez en China, y sólo mucho más tarde conocidos
en Occidente, incluyen los números negativos, el teorema binomial, métodos
matriciales para resolver sistemas de ecuaciones lineales y el Teorema del
resto chino. Los chinos también desarrollaron el triángulo de Pascal y la regla
de tres mucho antes de que se conocíera en Europa. Además de Zu Chongzhi,
algunas de las figuras más importantes de la matemática china durante este
período incluyen a Xing Yi, Shen Kuo, Qin Jiushao, Zhu Shijie, y otros. El
científico Shen Kuo utilizó problemas referentes al cálculo, la trigonometría,
la metrología, las permutaciones y, una vez calculó la cantidad posible de
terreno que podría utilizarse con formaciones de batalla específicas, así como
la más larga campaña militar posible, dada la cantidad de alimento que los
transportistas podrían llevar para ellos y los soldados.
Incluso después de que la matemática europea comenzara a
florecer durante el Renacimiento, las matemáticas europeas y chinas fueron
tradiciones separadas, con un declive significativo de la producción de las
matemáticas chinas, hasta que los misioneros jesuitas, como Matteo Ricci
llevaron las ideas matemáticas de ida y vuelta entre las dos culturas desde el
siglo XVI al XVIII.
Aportes de la china
La matemática china era, al igual que su lengua,
extremadamente concisa. Estaba basada en problemas; motivada por problemas en
el calendario, en los negocios, en la medida de las tierras, en la
arquitectura, en los archivos gubernamentales y en los impuestos. Alrededor del
siglo IV a.C. se empleaban los ábacos para calcular, lo que significa que se
usaba un sistema numérico decimal. Merece la pena destacar que los ábacos son
únicamente chinos y no parecen haber sido utilizados por ninguna otra
civilización.
Nuestro conocimiento de las matemáticas chinas antes del 100
a.C. es muy limitado a pesar del descubrimiento en 1984 del Suan shu shu (Un
libro de aritmética), un texto fechado en los alrededores del año 180 a.C. Está
escrito en tiras de bambú y se encontró cerca de Jiangling, en la provincia de
Hubei. Los siguientes libros en importancia de los que tenemos conocimiento son
el trabajo de dieciséis capítulos Suanshu (Recetas de conteo) escrito por Du
Zhong y el texto de veintiséis capítulos Xu Shang suanshu (Recetas de conteo de
Xu Shang) escrito por Xu Shang. Ninguno de ellos ha sobrevivido y poco sabemos
de su contenido. El texto más antiguo que se conserva en su totalidad es el
Zhoubi suanjing (Manual de relojes de Sol de Zhou) compilado entre los años 100
a.C. y 100 d.C. (ver el artículo sobre los Diez clásicos). Es un texto de
astronomía que muestra cómo medir las posiciones de los cuerpos celestes
utilizando relojes de Sol llamados también gnomones, pero contiene importantes
secciones de matemáticas. Proporciona una clara información sobre la naturaleza
de las matemáticas chinas en este período (ver por ejemplo :
El método de cálculo es muy simple de explicar pero tiene
una amplia aplicación. Esto es porque una persona gana conocimiento mediante la
analogía, esto es: tras la comprensión de una línea particular de argumentación
se pueden inferir varios tipos de razonamientos similares ... Cualquiera puede
inferir sobre otros casos para generalizar ... en realidad sabe como calcular
... ser capaz de deducir y después generalizar ... es la marca que identifica a
una persona inteligente.
El Zhoubi suanjing contiene una descripción de la regla de
Gougu (la versión china del Teorema de Pitágoras) y la aplica a la vigilancia,
astronomía, y otras materias. Aunque es ampliamente aceptado que el trabajo
contiene una prueba del Teorema de Pitágoras, Cullen en lo discute,
afirmando que esta creencia se basa en un error de traducción de Needham en.
De hecho, gran parte de las matemáticas chinas de este
período proceden de la necesidad de calcular el calendario y predecir las
posiciones de los cuerpos celestes. La palabra china choren se refiere tanto a
matemáticos como a astrónomos mostrando la cercanía que había entre las dos
áreas. Un primitivo choren fue Luoxia Hong (aproximadamente entre el 130 a. de
C. y el 70 a. de C.) que creó un calendario basado en un ciclo de 19
años.
El libro chino sobre matemáticas más famoso de todos los
tiempos es el Jiuzhang suanshu o, como se le llama de forma común: Nueve
capítulos del arte matemático. El libro contiene contribuciones matemáticas
añadidas durante un largo período y queda poco del texto original como para
poder identificar a que época pertenece cada una de ellas. Este importante
trabajo que dominó el desarrollo matemático y su estilo durante 1500 años lo
discutiremos en el artículo Nueve capítulos del arte matemático. Muchos
desarrollos posteriores se hicieron mediante comentarios a este texto; uno de
los primeros, perdido en la actualidad, fue el de Xu Yue (alrededor del 160 -
alrededor del 227).
Liu Hui (alrededor del 220 - alrededor del 280) hizo un
importante avance matemático en un comentario al Jiuzhang suanshu o Nueve
capítulos del arte matemático alrededor del 263. Dong y Yao escriben :
Liu Hui, gran matemático de la dinastía Wei Jin Dynasty,
apareció en una época de teorización matemática en la antigua China, y
contribuyó de gran manera a la materia. Entre el 'Jiu Zhang Suan Shu Zhu' y el
'Hai Dao Suan Jing' es posible ver que Liu Hui hizo un hábil uso del
pensamiento en imágenes al igual que en forma lógica y dialéctica. Resolvió
muchos problemas matemáticos, llevando su razonamiento matemático más allá de
la dialéctica.
Liu Hui proporcionó un acercamiento más matemático que los
textos chinos primitivos, creando principios en los cuales se basaron sus
cálculos. Encontró aproximaciones al uso de polígonos regulares con 3 × 2n
lados inscritos en un círculo. Su mejor aproximación de lo que era 3,14159 la
obtuvo de un polígono regular de 3072 lados. Está claro que comprendía el
proceso iterativo y la noción de límite. Liu escribió también Haidao suanjing o
Manual de matemáticas de la isla marina (ver el artículo en Diez clásicos) que
fue originariamente un apéndice a su comentario al capítulo 9 de los Nueve
capítulos del arte matemático. En él, Liu emplea el Teorema de Pitágoras para
calcular la altura de objetos y la distancia a esos objetos que no se pueden
medir directamente. Este fue uno de los principales temas de las matemáticas
chinas.
Unos cincuenta años después de las importantes
contribuciones de Liu, se hizo un importante avance en el campo de la
astronomía cuando Yu Xi descubrió la precisión de los equinoccios. En
matemáticas pasó tiempo antes de que los matemáticos consiguieran superar la
profundidad conseguida por Liu Hui. Por ejemplo, Sun Zi (alrededor del 400 -
alrededor del 460) escribió su manual matemático, Sunzi suanjing que realmente
incluía pocas novedades. Sin embargo contiene un problema resuelto mediante el
teorema chino del residuo, conocido como la más temprana ocurrencia de este
tipo de problema.
Este texto de Sun Zi fue el primero de una serie en los
siguientes doscientos años que hicieron un importante número de contribuciones.
Xiahou Yang (alrededor del 400 - alrededor del 470) se supone fue el autor del
Xiahou Yang suanjing (Manual matemático de Xiahou Yang) que contiene
representaciones de números en notación decimal usando potencias de diez
positivas y negativas. Zhang Qiujian (alrededor del 430 - alrededor del 490)
escribió su texto matemático Zhang Qiujian suanjing (Manual matemático de Zhang
Qiujian) en algún momento entre el 468 y el 486. Sus 92 problemas ilustran la
fórmula para sumar una progresión aritmética. Su fama viene de presentar el
problema 'de las cien gallinas', un problema indeterminado con tres soluciones
no triviales.
Uno de los avances más significativos vino de Zu Chongzhi
(429-501) y de su hijo Zu Geng (alrededor del 450 - alrededor del 520). Zu
Chongzhi fue un astrónomo que hizo observaciones precisas que utilizó para
crear un nuevo calendario, el Tam-ing (Calendario de la gran luz), basado en un
ciclo de 391 años. Escribió el Zhui shu (Método de interpolación) en el que
demostró que 3,1415926 < π < 3,1415927. Recomendó utilizar 355/113 como buena
aproximación y 22/7 en un trabajo menos exacto. Con su hijo Zu Geng calculó la
fórmula para el volumen de la esfera usando el Principio de Cavalieri (ver
[25]). Los comienzos del álgebra china se ven en el trabajo de Wang Xiaotong
(alrededor del 580 - alrededor del 640). Escribió el Jigu suanjing
(Continuación de las matemáticas antiguas), un texto con 20 problemas que más
tarde se convertiría en uno de los Diez clásicos. Resolvía ecuaciones cúbicas
extendiendo un algoritmo para encontrar raíces al cubo. Su trabajo es
considerado como un primer paso hacia el tian yuan o 'método de arreglos de
coeficientes' o 'método de la incógnita celeste' de Li Zhi para cálculos con
polinómios.
La interpolación fue una herramienta muy importante en
astronomía y Liu Zhuo (544-610) fue un astrónomo que introdujo la interpolación
cuadrática con un método de diferencia de segundo orden. La astronomía china no
era totalmente independiente de los desarrollos que tenían lugar en India y las
matemáticas también se veían influidas en cierta medida por los trabajos
matemáticos indios, ya que algunos fueron traducidos al chino. Hoy en día los
historiadores discuten sobre la influencia de las matemáticas indias, árabes e
islámicas sobre la China. Es fácil decir que su influencia fue menor de la que
debía haber sido, ya que los chinos parecían tener pocos deseos en aceptar
otros acercamientos a las matemáticas. La trigonometría temprana era descrita
en algunos textos indios que fueron traducidos y también hubo algo de
desarrollo de trigonometría en China. Por ejemplo Yi Xing (683-727) creó una
tabla de tange
jueves, 3 de septiembre de 2015
Ejercicio de matemáticas en babilonia
1999, Alianza Editorial, RESUMEN DE EGIPTO: toma de libro; historia de las matemáticas de Carl B. Boyer
¿Cuáles
fueron en su opinión las cuatro contribuciones más importantes de los
mesopotámicos a la matemática?
*
Desarrollaron
una forma abstracta de escritura basada en símbolos cuneiformes.
*
Uso
del sistema de numeración posicional.
*
Desarrollo
de procedimientos para efectuar las operaciones básicas. (suma, resta,
multiplicación, división)
*
Desarrollo
e procedimiento de aproximación, para aquellos números que no tenían raíz
exacta.
Compárese en cuanto
a su importancia y su posible influencia en civilizaciones posteriores, la
geometría y trigonometría de los babilonios con la de los egipcios
Describa las
ventajas y desventajas relativas de los sistemas de notación numérica de los
babilonios y los egipcios
Ventajas y desventajas.
Una base tan grande,
como la de 60 (babilonios) tienes sus ventajas y desventajas con relación a la
base 10 (egipcios). Tales como:
*
Se
pueden representar cantidades grandes con pocos dígitos; mientras menor es la
base se requieren más dígitos para representar una determinada cantidad.
*
El
número de fracciones que se pueden representar por medio de una expresión
finita sexagesimal es mayor que el de las fracciones que se pueden expresar por
una representación finita decimal. Ya que
Escríbase el número
10000 en notación babilónica.
Utilícese el
algoritmo babilónico para cálculo de raíces cuadradas para hallar la raíz
cuadrada de 2 con media docena de decimales exactos y comparece el resultado
obtenido con el valor babilonio 1; 24, 51,10
Compruebe que
si
es 1; 33 ,45 , b= 45 y c
=1,15 entonces a,b, c forman una terna pitagórica
Compruébese el antiguo resultado babilónico en el que se da como 12, 48 el área de un trapecio isósceles cuyos lados miden 30 unidades y cuyas bases 14 y 50 unidades respectivamente
1999, Alianza Editorial, RESUMEN DE EGIPTO: toma de libro; historia de las matemáticas de Carl B. Boyer
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