Matemáticas siglo XIX y XX 

Entre los siglos XIX y XX la teoría de grupos se ramificó, formando el núcleo del álgebra actual, compuesto por una serie de teorías como: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie. Durante los años 1870 y 1920, la teoría de grupos fue menos dominante que en la época de Poincaré. Los métodos teóricos de grupos se aplicaron a otras disciplinas, aportando en los descubrimientos relacionados con la teoría de la estructura de la materia, la física moderna, como los estudios realizados por De Broglie, Schrödinger, Dirac y otros.

Otro hito importante en el siglo XX fue la obra lógica de Gödel, que hay que relacionar desde el principio con el programa formalista de Hilbert. En su tesis doctoral "La completitud de los axiomas del cálculo funcional de primer orden", resolvía un problema pendiente, que David Hilbert y Wilhelm Ackermann habían planteado en un libro que escribieron conjuntamente en 1928, Grundzüge der theoretischen Logik (Fundamentos de la Lógica Teórica). La cuestión consistía en si las reglas del uso, enunciadas en el libro, para la manipulación de expresiones que contengan conectivos lógicas ("y", "o", y similares) y cuantificadores ("para todo" y "existe", aplicadas a variables que recorren números o conjuntos) permitirían, adjuntados a los axiomas de una teoría matemática, la deducción de todas y sólo todas las proposiciones que fueran verdaderas en cada estructura que cumpliera los axiomas. En lenguaje llano, ¿sería realmente posible demostrar todo cuanto fuera verdadero para todas las interpretaciones válidas de los símbolos?

Se esperaba que la respuesta fuese afirmativa, y Gödel confirmó que así era. Su disertación estableció que los principios de lógica desarrollados hasta aquel momento eran adecuados para el propósito al que estaban destinados, que consistía en demostrar todo cuanto fuera verdadero basándose en un sistema dado de axiomas. No demostraba, sin embargo, que todo enunciado verdadero referente a los números naturales pudiera demostrarse a partir de los axiomas aceptados de la teoría de los números.

El teorema de completitud de Gödel enuncia que es posible demostrar todos aquellos enunciados que se siguen de los axiomas. Existe, sin embargo, una dificultad: si algún enunciado fuese verdadero para los números naturales, pero no lo fuese para otro sistema de entidades que también satisface los axiomas, entonces no podría ser demostrado. Ello no parece constituir un problema serio, porque los matemáticos confiaban en que no existieran entidades que se disfrazasen de números para diferir de ellos en aspectos esenciales. Por este motivo, el teorema de Gödel que vino a continuación provocó auténtica conmoción.

En su artículo de 1931, Gödel demostraba que ha de existir algún enunciado concerniente a los números naturales que es verdadero, pero no puede ser demostrado. (Es decir, que existen objetos que obedecen a los axiomas de la teoría de números y, no obstante, en otros aspectos dejan de comportarse como números). Se podría eludir este "teorema de incompletitud" si todos los enunciados verdaderos fueran tomados como axiomas. Sin embargo, en ese caso, la decisión de si ciertos enunciados son verdaderos o no se torna problemática a priori. Gödel demostró que siempre que los axiomas puedan ser caracterizados por un sistema de reglas mecánicas, resultan indiferente cuáles sean los enunciados tomados como axiomas. Si son verdaderos para los números naturales, algunos otros enunciados verdaderos acerca de los números naturales seguirán siendo indemostrables.

En particular, si los axiomas no se contradicen entre sí, entonces, ese hecho mismo, codificado en enunciado numérico, será "formalmente indecidible" -esto es, ni demostrable ni refutable- a partir de dichos axiomas. Cualquier demostración de consistencia habrá de apelar a principios más fuertes que los propios axiomas.

Este último resultado apenó muchísimo a Hilbert, quien había contemplado un programa para fijar los fundamentos de las matemáticas por medio de un proceso "autoconstructivo", mediante el cual la consistencia de teorías matemáticas complejas pudiera deducirse de la consistencia de más sencillas y evidentes. Gödel, por otra parte, no consideraba que sus teoremas de incompletitud demostrasen la inadecuación del método axiomático, sino que hacían ver que la deducción de teoremas no puede mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en la investigación matemática.

Los conceptos y los métodos introducidos por Gödel en su artículo sobre la incompletitud desempeñan un papel central en la teoría de recursión, que subyace a toda la informática moderna.

Los resultados de Gödel en teoría de conjuntos resolvieron una de las cuestiones que Hilbert había planteado en 1900 en una alocución célebre pronunciada en el Congreso Internacional de Matemáticas.

Durante los años 40 quedó superado el aislamiento de las ideas sobre funciones de variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Riemann2 en los cuales aparecían amplias analogías que vinculaban esta teoría con otros campos de las matemáticas. Fue a finales de siglo XIX y a comienzos del siglo XX cuando se unificaron conceptos, creando una concepción única general de la teoría de funciones de variable compleja.

La geometría pasó de las ideas de geometría analítica del siglo XVII, a la proyectiva del siglo XIX, hasta llegar a la geometría diferencial del siglo XX. La geometría diferencial es la aplicación del análisis a las curvas y superficies. Tuvo su desarrollo casi definitivo con Gastón Darboux, a comienzos del siglo XX.

La geometría integral combinatoria puede ser considerada como una generalización del problema primitivo de las agujas de Bufón, extendiéndolo al caso de varias agujas fijas en el plano, en posición arbitraria, y calculando las medidas de las rectas que cortan o separan a algunas de estas agujas.

En la década de los sesenta, la geometría integral volvió a interesar a las probabilidades, debido principalmente a una serie de importantes trabajos de R.E. Miles. Se volvió a las probabilidades geométricas, pero no en su sentido clásico, sino en el marco de los modernos desarrollos de la teoría de las probabilidades, sobre todo dentro de los procesos estocásticos. Se conocían los procesos de puntos -los procesos de Poisson, por ejemplo- y se trató de extender el concepto de procesos de rectas y a otros elementos geométricos. De esta forma nació la geometría estocástica.

Los problemas que señalan en principio la aparición de este nuevo espíritu son los de funciones continuas y los teoremas de existencia. En particular, se creía que toda función continua era derivable en todos sus puntos, aparte quizá de un número finito o infinito de puntos excepcionales. Cauchy fue el primero, a comienzos del siglo XX, que se entregó a la tarea de dar una definición precisa de "función continua".

Respecto de los avances más significativos del análisis del siglo XX podría decirse que fueron, entre otros: el teorema de Carleson sobre la convergencia de las series trigonométricas, que puede ser considerado como una culminación del proyecto de análisis armónico delineado por Fourier, y el teorema de De Giorgi-Nash sobre la regularidad de las soluciones de ecuaciones elípticas, que inauguró la teoría no lineal y resolvió uno de los problemas planteados por Hilbert.

El siglo XX ha sido fértil en cuanto a la resolución de antiguos problemas abiertos, y en él se han logrado importantes avances. Vamos tan sólo a describir dos de los logros más interesantes: ambos son soluciones a problemas de más de trescientos años, que se obtuvieron al final de este siglo y en los que se logró el éxito gracias a desarrollos matemáticos previos.

Álgebra

En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones (véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton, el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.

Matrices

El término 'determinante' fue introducido por primera vez  por Gauss en “Disquisiciones Aritméticas” (1801) mientras se discutían formas cuadráticas. Gauss usó este término porque el determinante determina las propiedades de la forma cuadrática. Sin embargo, este concepto de determinante no era el mismo que conocemos ahora. En el mismo trabajo, Gauss pone los coeficientes de sus formas cuadráticas en arreglos rectangulares. Describe la multiplicación de matrices (la cual piensa como una composición, lo que implica que no había alcanzado aun el concepto de álgebra de matrices) y la inversa de una matriz en el contexto particular de los arreglos de coeficientes de formas cuadráticas.

La Eliminación Gaussiana, que primero aparece  en el texto” Nueve Capítulos de Arte Matemático” escrito 200 años AC, era usada por Gauss en sus estudios de la órbita del asteroide Pallas. Usando las observaciones de Pallas tomadas entre 1803 y 1809, Gauss obtuvo un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas.Gauss ideó un método sistemático para resolver tales ecuaciones, el que precisamente conocemos ahora como “Eliminación Gaussiana”  con  los coeficientes de una matriz.

Fue Cauchy en 1812 quien usó el término 'determinante' en el sentido moderno. El trabajo de Cauchy es el  más completo de los primeros trabajos sobre determinantes. Él desaprobaba los primeros resultados y daba nuevos resultados propios sobre menores. En este escrito, de 1812, por primera vez fue probada la multiplicación de determinantes aunque, en la misma reunión del Instituto de Francia, Binet lee un escrito que contenía la prueba del teorema de la multiplicación pero que fue menos satisfactoria que la realizada por Cauchy.

En 1826 Cauchy, en el contexto de formas cuadráticas en n variables, usó el término'tableau' para la matriz de coeficientes. Él encuentra el autovalores de matrices y dio resultados sobre diagonalización de una matriz en el contexto de convertir una  forma cuadrática a la suma de cuadrados. Cauchy también introdujo la idea de matrices similares (pero no el término) y mostró que si dos matrices son similares ellas tienen la misma ecuación característica. También probó, nuevamente en el contexto de formas cuadráticas,  que toda matriz simétrica real es diagonalizable.

Jacques Sturm dio una generalización del problema de los autovalores en el contexto de resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. De hecho, el concepto de autovalores apareció 80 años antes en trabajos sobre sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, hechos por D'Alembert  acerca de la generalización del movimiento de una cuerda con masas pegadas a él en diversos puntos.

Es una pena que ni Cauchy ni Jacques Sturm realizaron la generalidad de las ideas que ellos estaba introduciendo, las mostraron solo en los contextos específicos en que ellos estaban trabajando. Jacobi, alrededor 1830 y luego Kronecker y Weierstrass en los años 1850 y 1860 también miraron resultados matriciales pero otra vez en un contexto especial, esta vez relativo a  la idea de un transformación lineal.

Jacobi publicó tres tratados sobre determinantes en 1841. Esto fue de gran importancia, ya que por primera vez la definición de determinante fue hecha en forma  algorítmica y las entradas en los determinantes no fueron especificados. Así, sus resultados fueron aplicados igualmente bien a casos donde las entradas eran números o eunciones. Estos tres escritos de Jacobi hicieron la idea de determinante ampliamente conocido.

Cayley,  también publicó en 1841, la primera contribución Inglesa a la teoría de determinantes. En este escrito, uso dos líneas verticales en ambos lados del arreglo para denotar el determinante, una notación que ahora es común.

Eisenstein en 1844 denotó las sustituciones lineales con  una simple letra y mostró como sumarlas y multiplicarlas como números ordinarios excepto porque no hay commutatividad. Es justo decir que Eisenstein fue el primero en pensar las sustituciones lineales como la formación de un álgebra como pueder ser visto en la siguiente cita de su escrito de 1844:

"Un algoritmo para cálculo puede ser basado en esto,  consiste en aplicar las reglas normales para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación a ecuaciones simbólicas. Entre sistemas lineales, ecuaciones simbólicas correctas son obtenidas siempre, teniendo en consideración que el orden de los factores no puede ser alterado."

El primero en usar el término "matriz" fue Sylvester en 1850. Sylvester definió matriz como un arreglo rectangular de términos y vio como algunas matrices contenían dentro de ellas varios determinantes representados como arreglos cuadrados. Después de dejar América, Sylvester volvió a Inglaterra en 1851, y se formó como abogado. Más tarde junto a Cayley, un abogado como él, compartió sus intereses matemáticos. Cayley rápidamente vio el significado del concepto de matriz  y en 1853 había publicado una nota dando, por primera vez, la inversa de una matriz.

Cayley, en 1858,  publicó “Memorias sobre la teoría de matrices”  que contiene  la primera definición abstracta de matriz. Él muestra que los arreglos de coeficiente estudiados tempranamente para formas cuadráticas y para transformaciones lineales son casos especiales de su concepto general. Cayley daba una definición algebraica sobre adición de matrices, multiplicación, multiplicación por un escalar y matriz  inversa. Él daba una construcción explícita de la inversa de una matriz en términos del determinante. Cayley también probó que, en el caso de matrices de orden (2 x 2), la  matriz satisface su ecuación característica propia. Él declaraba que había comprobado el resultado para matrices de orden (3 x 3), indicando su prueba, pero dice:

"Yo no tengo la condición necesaria para llevar adelante el trabajo de probar formalmente el teorema para el caso general de una matriz de cualquier grado."

Que una matriz satisfaga su ecuación característica propia es lo que se conoce como el "Teorema de Cayley-Hamilton". Es razonable preguntarse que tiene que ver esto con Hamilton. En efecto, el también probó un caso especial del teorema, para  matrices de orden (4 x 4), en el curso de sus investigaciones sobre cuaterniones. En 1870, la forma canónica de Jordan aparece en “ Tratado sobre sustituciones y ecuaciones algebraicas”  por Jordan. Aparece en el contexto de una  forma canónica para sustituciones lineales sobre un campo finito de orden primo. Frobenius, en 1878, escribió un importante trabajo sobre  matrices en “Sustituciones lineales y formas bilineales” cuando el no estaba consciente del trabajo de Cayley. Frobenius trabajaba en su artículo con coeficientes de formas cuadráticas y  no usa el término matriz. Sin embargo probó importantes resultados sobre matrices canónicas como representaciones de clases de equivalencia de matrices. Él menciona a Kronecker (1874)  y Weierstrass  (1868) como casos especiales de sus resultados respectivamente. Frobenius además probó el resultado general de que una matriz satisfaga su ecuación característica. Este escrito de  1878  también contiene la definición del rango de una matriz  el cual  usaba en sus trabajos sobre formas canónicas y la definición de  Matrices Ortogonales. La nulidad de una matriz cuadrada  fue definida por Sylvester en 1884. Él definía la nulidad de A, n(A), como el mayor i tal que cada de A de orden (n-i+1)  es nula. Sylvester estaba interesado en invariantes de matrices, esto es, propiedades que cumplen algunas matrices y que no son alteradas bajo ciertas transformaciones. Sylvester provó que:

  max(n(A),n(B)) <= n(AB) <= n(A) + n(B).

En 1896, Frobenius conoció las “Memorias sobre la teoria de matrices”  de  Cayley (1858) y despues comenzó a usar el término matriz. A pesar del hecho que Cayley solo había probado el teorema de Cayley-Hamilton para matrices de (2 x 2) y (3 x 3), Frobenius generosamente atribuyó el resultado a Cayley a pesar de haber sido el, el primero en probar el teorema general.

Una definición axiomática de determinante fue usado por Weierstrass en sus clases y, despues de fallecido,  fue publicado, en 1903, en la nota “Teoría de determinantes”. En el mismo año,  también fueron publicados los apuntes de Kronecker sobre determinantes, nuevamente despues de su muerte. Con estas dos publicaciones, la teoría moderna de determinantes estaba desarrollada pero, la teoría de matrices tomaba un poco más de tiempo para convertirse en una  teoría completamente aceptada.

Análisis complejo

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX. Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica. En tiempos modernos se convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los dibujos de fractales, producidos por la iteración de funciones holomorfas, de los cuales el más popular es el conjunto de Mandelbrot. Otras aplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría de cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

Probabilidad

A mediados del siglo  XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales

Desde los orígenes la principal dificultad para poder considerar la probabilidad como una rama de la matemática fue la elaboración de una teoría suficientemente precisa como para que fuese aceptada como una forma de matemática. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov » la definió de forma axiomática y estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una teoría más amplia como es la teoría de la medida.

Geometría no euclidiana

La primera persona que realmente entendió el problema de las paralelas fue Gauss. Empezó a trabajar sobre el quinto postulado en 1792 cuando tenía apenas 15 años de edad, intentando primero demostrar el postulado de las paralelas a partir de los otros cuatro. Par 1813 había progresado poco y escribió:

En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas… Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto postulado era independiente de los otros cuatro postulados. Empezó a deducir las consecuencias de una geometría en la que más de una línea puede dibujarse que pase por un punto dado y que sean paralelas a una recta dada. Tal vez lo más sorprendente de todo es que Gauss nunca publicó este trabajo sino que lo mantuvo en secreto. En esa época el pensamiento estaba dominado por Kant, quien afirmó que la geometría euclidiana es la inevitable necesidad de pensamiento y a Gauss le disgustaba la controversia. Gauss discutió la teoría de las paralelas con su amigo, el matemático Farkas Bolyai quien hizo varias demostraciones falsas del postulado de las paralelas. Farkas Bolyai le enseñó matemáticas a su hijo, János Bolyai pero, a pesar de haber pedido a su hijo que no perdiera una sola hora en ese problema del quinto postulado, János Bolyai sí trabajó en el problema. En 1823 Bolyai escribió a su padre diciendo que he descubierto cosas tan maravillosas que estoy asombrado…  de la nada he creado un extraño nuevo mundo. Sin embargo le llevó a Bolyai otros dos años escribirlo todo y publicó su extraño nuevo mundo como un apéndice de 24 páginas en el libro de su padre, aunque solamente para confundir a generaciones posteriores, el apéndice fue publicado antes que el libro mismo. Gauss, después de leer las 24 páginas, describió a János Bolyai en estas palabras al escribirle a un amigo: Veo a este joven geómetra Bolyai como un genio de primer orden. Sin embargo en cierto sentido Bolyai solamente supuso que la nueva geometría era posible. Después siguió las consecuencias de manera no muy diferente a la de aquellos que habían elegido suponer que el quinto postulado era falso y buscaban una contradicción. No obstante a ello, el verdadero avance fue la creencia de que la nueva geometría era posible. Gauss, a pesar de lo impresionado por Bolyai que sonaba en la cita anterior, más bien lo devastó al decirle que él mismo (Gauss) había descubierto todo esto anteriormente pero no lo había publicado. Aunque esto debe sin duda ser cierto, no le quita nada al increíble avance de Bolyai. Tampoco queda disminuido el trabajo de Bolyai porque Lobachevsky publicara una obra sobre geometría no-euclidiana en 1829. Ni Bolyai ni Gauss sabía del trabajo de Lobachevsky, principalmente porque fue publicada nada más en ruso en el Mensajero de Kazan, una publicación universitaria local. El intento de Lobachevsky para llegar a un audiencia más amplia había fallado cuando su artículo fue rechazado por Ostrogradski. De hecho, a Lobachevsky no le fue mejor que a Bolyai para atraer el reconocimiento público de su trascendental obra. Publicó Investigaciones geométricas sobre la teoría de las paralelas en 1840, la cual, en sus 61 páginas, da la narración más clara del trabajo de Lobachevsky. La publicación de un recuento en francés en el Diario de Crelle en 1837 llevó su trabajo sobre geometría no-euclidiana a una gran audiencia pero la comunidad matemática no estaba lista para aceptar ideas tan revolucionarias.

En el folleto de Lobachevsky de 1840 se explica claramente cómo funciona su geometría no-euclidiana. Todas las rectas que en un plano salen de un punto pueden con respecto a una recta dada en el mismo plano, ser divididas en dos clases -en las que cortan y las que no cortan. Las líneas frontera de cada clase de rectas se llamarán palalelas a la recta dada.

Desde aquí Lobachevsky ha reemplazado el quinto postulado de Euclides por:

Postulado de las paralelas de Lobachevsky. Existen dos líneas paralelas a otra dada y que pasan por un punto dado que no está en la línea dada. Lobachevsky prosiguió con el desarrollo de muchas identidades trigonométricas para triángulos en esta geometría, demostrando que conforme el triángulo se hace más pequeño, dichas identidades tienden a las identidades trigonométricas habituales. Riemann, quien escribió su disertación doctoral bajo la supervisión de Gauss, dio una conferencia inaugural el 10 de junio de 1854 en la cual reformuló por completo el concepto de geometría a la cuál el vio como un espacio con suficiente estructura adicional como para poder medir cosas como la longitud. Esta plática no fue publicada sino hasta 1868 dos años después de la muerte de Riemann, pero tendría una profunda influencia en el desarrollo de gran cantidad de geometrías distintas. Riemann brevemente discutió una geometría ‘esférica’ en la cual cada línea que pasa por un punto P que no está en una línea AB toca a la línea AB. En esta geometría las rectas paralelas son imposibles.

Es importante darnos cuenta de que ni la descripción de Bolyai ni la de Lobachevsky de su nueva geometría habían sido probadas como consistentes. De hecho, no era diferente de la geometría euclidiana en este aspecto aunque los muchos siglos de trabajo con la euclidiana eran suficientes para convencer a los matemáticos de que jamás aparecería una contradicción dentro de ella.

La primera persona que puso a la geometría no-euclidiana de Bolyai – Lobachevsky en la misma base que la geometría euclidiana fue Eugenio Beltrami (1835-1900). En 1868 escribió un artículo Ensayo sobre la interpretación de la geometría no-euclidiana que presentaba un modelo para una geometría no-euclidiana bidimensional dentro de la geometría euclidiana tridimensional. Este modelo se obtuvo en la superficie de revolución de una tractriz alrededor de su asíntota. A esto se le llama a veces una seudo-esfera.

Puedes ver la gráfica de una tractriz y cómo se ve la mitad superior de una pseudo-esfera de hecho, el modelo de Beltrami estaba incompleto pero sin duda daba una decisión final sobre el quinto postulado de Euclides ya que el modelo proporcionaba una base sobre la cual se sustentaban los primeros cuatro postulados de Euclides pero no así el quinto. Reducía el problema de la consistencia de los axiomas de la geometría no-euclidiana al de la consistencia de los axiomas de la geometría euclidiana.

El trabajo de Beltrami sobre un modelo de la geometría no-euclidiana de Bolyai-Lobachevsky fue completado por Klein en 1871. Klein fue más allá de esto y dio modelos de otras geometrías no-euclidianas tales como la geometría esférica de Riemann. El trabajo de Klein se basaba en la noción de distancia definida por Cayley en 1859 cuando propuso una definición generalizada de distancia.

Klein mostró que hay tres tipos básicos de geometría. En la del tipo de la de Bolyai-Lobachevsky, las rectas tiene dos puntos infinitamente distantes. En la geometría esférica del tipo de Riemann, las rectas no tienen puntos infinitamente distantes (o más precisamente dos imaginarios). La geometría euclidiana es un caso límite entre las dos en el cual para cada línea hay dos puntos infinitamente distantes que son coincidentes.

Geometría proyectiva

Gérard Desargues es el iniciador de la geometría proyectiva, pues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639, pasó desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes.

En el siglo XIX, la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica, se establecieron dentro de las matemáticas, pero lo que acabó de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analítico. Dentro del contexto de la geometría euclidiana-cartesiana se puede construir la geometría proyectiva y, si se acepta la primera, hay que admitir la segunda.

Este proceso finalizó definitivamente a principios del siglo XX, pues Einstein, apoyándose en los exhaustivos desarrollos geométricos de los matemáticos del siglo XIX, consiguió demostrar que, a gran escala, el universo se puede interpretar mejor con estas nuevas geometrías que con el rígido espacio euclidiano.

Teoría de conjunto

George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.

El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".

Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basarse en una teoría inconsistente.

La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas y prometió una solución al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo más simple de la intuición: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición general. Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas, pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas. Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál decía que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la tienen, lo cuál sería la negación de la propiedad A. A esta corriente de pensamiento se le llamó intuicionismo.

Por otro lado, David Hilbert se opuso al intuicionismo y aunque no toleraba las paradojas, no estaba dispuesto a ver las matemáticas mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba, la cuál era una teoría de la lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a las matemáticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló su teoría de los tipos para evitar las paradojas. El proponía que los enunciados se acomodaran jerárquicamente. Russell publicó sus resultados en 1908 con la colaboración de Alfred North Whitehead. 

La cuarta respuesta a la paradoja fue de Ernst Zermelo en 1908 con la axiomatización de la teoría de conjuntos. La mejor prueba de que la teoría de conjuntos no ha logrado unificar a las matemáticas es que éstas se han ramificado en áreas muy diferenciadas, como la aritmética, el álgebra, la trigonometría y geometría; también se han separados distintos campos como el cálculo, la topología, la teoría de conjuntos, la teoría de los números y la estadística.

tomado de http://www.aportes.educ.ar/sitios/aportes/recurso/index?rec_id=107513&nucleo=matematica_nucleo_arte  , http://ftovars.galeon.com/pag1.htm , https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectiva , http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html , https://www.google.com.co/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CBwQFjAAahUKEwjeopORtOXIAhXD2B4KHU8dCQA&url=http%3A%2F%2Fastroseti.org%2Ftraducciones%2Fhistoria-de-las-matematicas%2Fhistoria-de-la-geometria-no-euclidiana%2F&usg=AFQjCNEdGGDnBO2ASmFPsGyXbif0Ivqb4w&sig2=RXxNSpq6omjya_7nfrRjyA

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MATRICES

MATEMÁTICAS SIGLO XIX

GAUSS

MATEMÁTICAS SIGLO XIX Y XX

SIGLO XVIII

Cálculo: En cuanto a los matemáticos en el mundo británico del siglo XVIII después de Newton, el más importante fue Colin  Maclaurin, quien fue profesor de la Universidad de Edimburgo, Escocia, discípulo directo de Newton. Al igual que en el continente con Euler o Clairaut, Maclaurin trabajó en la extensión de los métodos diferenciales, las curvas de segundo y órdenes superiores, la atracción de los elipsoides de revolución; también trabajó en geometría proyectiva, métodos cinemáticos para describir curvas planas de diferentes grados, etc. Dos de su obras: Geometria organica (1720) y Tratado sobre fluxiones (2 volúmenes, 1742). En este último aparece la famosa "serie de Maclaurin'' que en realidad había sido introducida por Brook Taylor en 1715. Las "series de Taylor'' fueron aplicadas por Euler en 1755. Taylor también estudió el problema de la cuerda vibrante. Asunto de gran importancia para la historia de las matemáticas en Gran Bretaña fueron las consecuencias de la confrontación entre Newton y Leibniz. La escuela Newtoniana en Inglaterra y la de Leibniz se separaron de una manera muy profunda, que hizo que se generara un estancamiento en las islas británicas en relación con las matemáticas que se desarrollaban en el continente. En particular, como señala Bell: "La lealtad patriótica hacia Newton ocultó a los matemáticos ingleses la evidente superioridad de la notación de Leibniz sobre los puntos de Newton, y...; el resultado fue que a principios del siglo XVIII Suiza y Francia quedaron a la cabeza de las matemáticas. Los herederos científicos de Newton fueron los matemáticos del continente, no sus paisanos. Finalmente, en 1820, los matemáticos jóvenes de Cambridge se dieron cuenta de que sus reaccionarios mayores no honraban la memoria de Newton con su obstinado nacionalismo, y adoptaron las mejoras llevadas al cálculo por los del continente, e introdujeron la geometría analítica y la notación de Leibniz en los exámenes. Cambridge revivió matemáticamente. Mientras que Alemania y Francia tuvieron un gran dominio en el análisis y la geometría, fue en las islas británicas donde se darían los resultados más importantes en el álgebra, excepto por la teoría de grupos.

Integrales múltiples: En relación a la integración múltiple, parece claro que, aunque anteriormente se habían utilizado algunas integrales múltiples de tipo geométrico y físico, fue Euler el que tuvo una idea clara sobre el sindicado de las integrales dobles extendidas a un recinto plano limitado por arcos, y dio el método para calcularlas. Al final del siglo, LaGrange y Laplace (1749-1827) introdujeron las integrales múltiples en general y estudiaron el cambio de variable en ellas, rápidamente fueron construidas integrales elípticas indefinidas, la función gama y otras más.

 Ecuaciones en derivadas parciales: Fue también en el siglo XVIII que se desarrolló el cálculo en funciones de dos y tres variables. Aunque Newton, Jean y Nicolaus Bernoulli habían realizado la diferenciación en funciones de 2 variables, la teoría fue plenamente desarrollada por varios matemáticos: Alexis Fontaine de Bertins (1705 - 71), Euler, Clairaut y d'Alembert. Al principio se usó el mismo signo d para expresar la derivada. La idea era simple: efectuar la derivada sobre una variable dejando como constantes las otras. La derivación "parcial'' (para una variable) tuvo mucha relevancia en las ecuaciones diferenciales. En relación con asuntos de hidrodinámica, en los que aparecían las ecuaciones diferenciales, Euler hizo un amplio tratamiento de la derivación parcial. En 1734, por ejemplo, Euler mostraba que si z= f(x,y) entonces  (d^2)z/ dxdy = (d^2)z/ dydx. Entre 1744 y 1745, d'Alembert extendió el cálculo de las derivadas parciales (trabajando en dinámica).

Algebra: Con ideas hasta cierto punto anticipadas por Lagrange y por el italiano Ruffini, Galois creó la teoría de grupos, fundamento del álgebra moderna y de la geometría moderna. Ya desarrollaremos estos detalles.

Él consideró las propiedades fundamentales del grupo de transformaciones que pertenecía a las raíces de una ecuación algebraica y estudió el papel de algunos subgrupos invariantes. Sus publicaciones tuvieron una vida también difícil: aunque en la École había publicado 4 artículos, en 1829 sometió dos a la Academia de Ciencias pero éstos fueron perdidos por Cauchy; otro el año siguiente enviado a Fourier corrió suerte similar porque este último matemático se murió.

Geometría: Gaspard Monge se suele caracterizar como el primer especialista en geometría. Creó los fundamentos de la geometría proyectiva y, además, contribuyó a la geometría diferencial y analítica. Sus obras principales fueron: Géométrie descriptive (1795 - 1799) y Application de l'analyse à la géométrie (1809). El primer libro condensaba las lecciones que Monge había dado en la École Normale, otra institución formativa, aunque con un menor nivel que la Polytechnique. Monge desarrolló la geometría analítica en tres dimensiones. Por ejemplo, hizo un estudio sistemático de la recta en el espacio tridimensional, estudió los parámetros de dirección de una recta, la distancia de un punto a una recta, la distancia entre dos rectas, etc. Uno de sus resultados, para dar un ejemplo: "Los planos trazados por los puntos medios de las aristas de un tetraedro y respectivamente perpendiculares a la arista opuesta, se cortan en un punto M que recibe el nombre de 'punto de Monge' del tetraedro. Este punto M es además el punto medio del segmento que une al baricentro y el circuncentro del tetraedro. ''

Teoría de números: En la teoría de los números hizo contribuciones muy importantes. Su Essai sur la Théorie des nombres fue el primer tratado exclusivamente de teoría de números. En éste incluyó un resultado sobre las congruencias, que es muy famoso: Cuando al tenerse que si p y q son dos enteros  entonces existe otro número entero x tal que (x^2) - 9 es divisible por p, se dice que q es un residuo cuadrático de p. Entonces, dados y son primos impares, (x^2)= q (modp) y (x^2)=p (modq)  son solubles a la vez o insolubles, salvo que p y q  sean de la forma 4n+ 3. En este último caso, una de las congruencias es soluble y la otra no lo es. También Legendre en este mismo tratado hizo la conjetura que afirma que p(n), el número de primos menores que el natural n  tiende a: n/ ln(n)-1.08366. En 1825, ofreció un resultado sobre el último teorema de Fermat: una demostración de su insolubilidad para n=5.

Probabilidad: En lo que se refiere a las probabilidades, Laplace partía de la premisa de que éstas tenían sentido debido a que medio conocemos y medio desconocemos la realidad circundante. Lo señala con claridad:

"La probabilidad se relaciona, en parte, con esta ignorancia, en parte con nuestros conocimientos. Sabemos que de tres o más acontecimientos uno solo puede ocurrir, pero nada nos induce a creer que uno de ellos ocurrirá con preferencia a los otros. En este estado de indecisión nos es imposible predecir su acaecimiento con certeza. No obstante es probable que uno de estos acontecimientos, tomado arbitrariamente, no ocurra, porque vemos muchos casos igualmente posibles que excluyen su acaecimiento, mientras que sólo uno lo favorece.

La teoría del azar consiste en reducir todos los acontecimientos de la misma índole a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, tales que estemos igualmente inseguros de su acaecimiento, y en determinar el número de casos favorables al acontecimiento cuya probabilidad se indaga. La razón de este número con la de todos los casos posibles es la medida de la probabilidad, que no es más que una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número total de casos posibles''.

tomado de https://books.google.com.co/books?id=Q7gc9S63WDYC&pg=PA319&lpg=PA319&dq=Fue+tambi%C3%A9n+en+el+siglo+XVIII+que+se+desarroll%C3%B3+el+c%C3%A1lculo+en+funciones+de+dos+y+tres+variables.+Aunque+Newton&source=bl&ots=7MN-xvl2Zd&sig=1kpxOuAofaoiOZkQnd7HbQ5pvwM&hl=es-419&sa=X&ved=0CBsQ6AEwAGoVChMItsba0rTlyAIVh7IeCh2a4g3A#v=onepage&q=Fue%20tambi%C3%A9n%20en%20el%20siglo%20XVIII%20que%20se%20desarroll%C3%B3%20el%20c%C3%A1lculo%20en%20funciones%20de%20dos%20y%20tres%20variables.%20Aunque%20Newton&f=false

Historia del cálculo diferencial

Historia del cálculo integral

EULER

SIGLO XVIII

SIGLO XVII

Los logaritmos: Puede decirse que el resultado más relevante de la aritmética de los siglos XVI y XVII fueron los logaritmos. Aparentemente, fue Stifel el primero en notar la correspondencia entre los términos de la sucesión geométrica 1,s,(s^2),(s^3)  y aquellos de la progresión aritmética formada por sus exponentes: 0, 1, 2, 3, 4,.... Al multiplicarse dos términos de la geométrica, el exponente del nuevo término así formado es la suma de los términos correspondientes en la aritmética. La división en la geométrica da la resta en la aritmética. También Chuquet había notado esto (1484). Pero fue John Napier (1550 - 1617) quien desarrolló los logaritmos, casi al terminar el siglo XVI, analizando la correspondencia entre las dos progresiones. Su motivación era, como era común en toda esta época, facilitar cálculos en trigonometría esférica que se usaba en asuntos de astronomía (de hecho, considera logaritmos de senos). Napier envió en consulta sus resultados al gran astrónomo Tycho Brahe. Dos obras condensan esos resultados: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio y Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, de 1614 y 1619 respectivamente. Otro matemático que trabajó con logaritmos fue Henry Briggs (1561 - 1631), quien sugirió el 10 como base, simplificando las cosas, y creó tablas de logaritmos para números cercanos que todavía tienen alguna utilidad. Un tratamiento similar al de Napier fue realizado por el suizo Joost Bürgi (1552 - 1632) quien, para que se aprecie la conexión astronómica, fue asistente de Kepler en Praga. Tiempo después se construyeron otras tablas de logaritmos por vía algebraica, incluso usando series infinitas: James Gregory, Lord Brouncker, Nicholas Mercator, John Wallis y Edmond Halley ("padre'' del famoso cometa Halley).

John Napier nació en 1 550, en Merchiston, Edinburgo, Escocia. En 1 563, John inició sus estudios en la Universidad de St. Andrews a la edad de trece años y fue aquí donde surgió su interés en la teología. No recibió su título en esa universidad porque partió hacia Europa a estudiar. No se sabe con exactitud en qué universidades estudió en Europa, pero es muy probable que lo haya hecho en la Universidad de Paris.  En 1 571, regresó a Escocia a presenciar el segundo matrimonio de su padre. En 1 574, se completó la construcción del castillo de la familia en Gartness y John se fue a vivir ahí con su esposa. Fue un hombre que desempeñó un papel activo en el ambiente controversial de su época. Como fiel protestante, escribió en 1 593, lo que sería su trabajo más importante: un libro acerca del descubrimiento de la revelación. El libro le hizo famoso no sólo en Escocia, sino también en el resto del continente, al ser éste el primer libro en Escocia que trataba sobre la interpretación de la Biblia. Su contribución a las matemáticas significó un pasatiempo para él, ya que con frecuencia se encontraba trabajando en sus estudios de teología. Uno de sus más reconocidos logros fue la invención de los logaritmos. Murió el 4 de abril de 1 617 en Edimburgo, Escocia.  

 La geometría analítica: Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez en 1637 como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de le corresponde un punto en un plano. Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores. Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.

La idea central de toda la Geometría Analítica consiste en establecer un vínculo entre objetos geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una interpretación geométrica. La idea de establecer este nexo permite por un lado, representar en forma algebraica objetos puramente geométricos, con lo cual todo el arsenal de herramientas del álgebra se puede aplicar a la geometría.

Breve Biografía de RENE DESCARTES (1596-1650)

Descartes fue considerado el primer hombre moderno por su pensamiento. Pertenecía a la nobleza francesa. Estaba muy interesado en las matemáticas, la ciencia y la filosofía, y decidió combinar sus propósitos intelectuales con los viajes. Pasó varios años viajando por Europa, frecuentemente como caballero voluntario en diversos ejércitos. Fue un militar francés de fortuna, un matemático y un filósofo. La Iglesia Católica Romana del siglo XVII discrepaba con las enseñanzas de los filósofos naturalistas, quienes aseguraban que el cuerpo humano operaba, en gran medida, igual que una máquina. Esto sugirió a algunos que la mente, como el cuerpo, quizás obedeciera también la ley natural. Descartes "resolvió" este problema reformulando las enseñanzas de Tomás de Aquino, acercando la importancia del libre albedrío, y aseverando que si bien es cierto que el cuerpo opera en gran parte como una máquina, la mente pertenece al alma, y no está sujeta a las leyes de causa y efecto. Esta es la doctrina del dualismo, para la cual cuerpo y mente son sustancias netamente definidas.

 Una de las más célebres declaraciones de Descartes fue: Cogito ergo sum, que significa: "Pienso, luego existo". A raíz de su énfasis en la primacía del pensamiento, puede decirse que Descartes prefiguró la posterior importancia asignada en psicología a la cognición.

 También argumentó que debía existir un universo externo al Yo pensante, un universo no opaco a las facultades cognoscitivas del hombre. Escribe el famoso libro "Discurso del método" (1637), donde expone que podemos dudar de todo (de lo que percibimos), pero de una cosa no podemos dudar, de que estoy dudando; y si estoy dudando es que pienso, y si pienso es que existo. De aquí su famosa frase "pienso, luego existo" (cogito ergo sum).

La teoría de números: probablemente la obra de Diofanto resultaba demasiado poco práctica para los matemáticos aplicados, y demasiado algorítmica y combinados pero lo cierto es que llamo fuertemente la atención de Fermat, que posiblemente gracias a ellos se convirtió en el creador de la moderna teoría de números. Muchos de los aspectos del tema le fascinaron, incluidos los números perfectos y amigos, los números figurados, los cuadrados mágicos, las ternas pitagóricas, la teoría de divisibilidad y sobre todo, los números primos, algunos de sus teoremas los demostró por un método que el mismo llamo de <<descenso infinito>>, una cierta forma de inducción matemática a la inversa, procedimiento  que Fermat fue de los primeros en utilizar. Para ilustrar la aplicación de descenso infinito, veamos, un ejemplo en la demostración de un hecho bien conocido desde antiguos, el de que Ö3 no es un número racional

Geometría: El tratamiento de las cónicas por Descargues encierra una gran belleza, a pesar de que el lenguaje que utiliza es francamente exótico. A una sección cónica le la un coup de rouleau, es decir, algo así como  <<golpe de rodillo>>, casi el único de sus muchos términos nuevos que ha sobrevivido hasta nosotros, es la palabra de distancias a otro fijo es una constante

Teoría de ecuaciones: A principio del siglo XVI, a través de los textos de Fibonacci e incluso la summa de Arithmetica, Geometría proportioni te proportionalita de Luca Pacioli, la ciencia y la cultura  de influencia italiana tuvieron acceso a la esencia del saber árabe. El comienzo de una verdadera teoría de ecuaciones se atribuye generalmente a Viete, matemático   francés de finales del siglo XVI. Si bien todavía se niega a incorporar los avances de Bombelli, es decir, los números negativos imaginarios, el resultado más celebrado es probablemente lo que actualmente se califica de cálculo utilizado letras.

Viete introdujo una segunda categoría de letras para los coeficientes. Estos son también valores que se consideran como fijados, incluso si no se les  conoce, es el que ahora se llama un parámetro, el segundo aporte de Viete consiste en el desarrollo de un lenguaje simbólico que permita expresar de forma simple cualquiera expresión polinómicas.

Nacimiento del cálculo: Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes fueron quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos,  la unidad algoritmo y la precisión necesario como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Esto desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, etc.

Entre los cálculos que se realizaban estaban:

·        Encontrar  la tangente a una curva en un punto

·        Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad

·        Encontrar la longitud de una curva, el area de una región y el volumen de un solido

·        Dada una formula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier  tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente dada una formula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un periodo de tiempo conocido.

Ecuaciones Diferenciales: El nacimiento de las ciencias de ecuaciones diferenciales se fijaría el 1 de noviembre de 1675, cuando Leibnitz asentó en un papel la ecuación integral de y diferencial de e igual a la mitad del cuadrado de y. En símbolos de  Leibnitz  ò ydy = (y^2)/2.

Newton formulo la ley de la gravitación, resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales correspondientes para probar que la tierra se mueve alrededor del sol,  describiendo aproximadamente una elipse, uno de cuyos focos es el sol, las ecuaciones diferenciales han cumplido un rol destacado en el desarrollo de las teorías y su implementación en la radio, radar, televisión , electricidad general.

Probabilidad: La definición de probabilidad surge debido al deseo del ser humano por conocer con certeza los eventos que sucederán en el futuro. Es por eso que a través de la historia  se han desarrollados diferentes enfoques para tener un concepto de la probabilidad y determinar sus valores.

Pierre Simón (1774) hizo el primer invento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de los principios de las teorías de las probabilidades, representando la ley de probabilidad de error con una curva y=f(x), siendo x cualquier error e (y)  su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:

·        Es simétrica al eje y

·        El eje x es asíntota, siendo la probabilidad del error ¥ igual a 0

·        La superficie cerrada es 1,  haciendo cierta la existencia de un error.

   tomado de https://books.google.com.co/books?id=Q7gc9S63WDYC&pg=PA210&lpg=PA210&dq=Los+logaritmos:+Puede+decirse+que+el+resultado+m%C3%A1s+relevante+de+la+aritm%C3%A9tica+de+los+siglos+XVI+y+XVII+fueron+los+logaritmos.&source=bl&ots=7MN-xvl4-g&sig=CiVjzFI4qLh8fQHv8Z-5ZhnTeJE&hl=es-419&sa=X&ved=0CBsQ6AEwAGoVChMIx__-vLXlyAIVgbgeCh3hLwH0#v=onepage&q=Los%20logaritmos%3A%20Puede%20decirse%20que%20el%20resultado%20m%C3%A1s%20relevante%20de%20la%20aritm%C3%A9tica%20de%20los%20siglos%20XVI%20y%20XVII%20fueron%20los%20logaritmos.&f=false , https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_ecuaciones , https://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad , http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm

 

Matemática siglo XVII

Matemáticas siglo XVII

SIGLO XVII

RESUMEN

PRELUDIOS A LA MATEMÁTICA MODERNA

  1.    Francois Viete: El álgebra árabe había sido no solo asimilada sistemáticamente, sino mejorada de una manera con la resolución de cubica y la cuadrática. Cierto simbolismo y la trigonometría se convierte en disciplina independiente. Había maduración en la época para llevar a cabo avances para superar contribuciones antiguas medievales y renacentistas. Viete: es la figura central y la más brillante de la transición  Europea fue el francés Francois Viete (1540-1603). No era lo que podía llamar un matemático profesional, estudio derecho, fue miembro del  parlamento de Bretaña, nombrado miembro del consejo real, sirvió a Enrique III , Viete solo se dedico a las matemáticas en sus ratos de ocio hizo  importantes contribuciones a la aritmética, álgebra, trigonometría y geometría, Viete cayo políticamente y se dedico a estudios matemáticos.

   2.     El concepto de parámetro: Viete hizo importantes contribuciones al algebra y se aproximo a un punto de vista modernos << la cosa>> en una ecuación con coeficiente numérico concretos, se introdujo algunos símbolos  para representar una incógnita y las primeras potencias de esa misma incógnita, , un geómetra podía representar una figura y llamarla ABC, pero un algebrista en cambio no disponía de ningún recurso para escribir una ecuación general de segundo grado que incluye a todas. Viete propuso utilizar  una vocal para representar una  cantidad desconocida o indeterminada  y una consonante para representa la magnitud o un numero que se supone conocido o  dado y se observa la distancia entre concepto de parámetro y la idea de incógnita.

   3.    El arte analítica: Se utilizo el simbolismo y escritura, las ecuaciones cuadráticas de forma   B(A^2)+CA+D=0 donde A es la incógnita y B,C,D son parámetros, la multiplicación representada por la partícula m, la división indicada por medio de líneas de fracción; para la igualdad abreviada de la palabra aequalis, Viete dice que en vez de razonar de lo que se conoce a lo que hay que demostrar(Razonar invariablemente a partir de las hipótesis). 

    4.     Las relaciones entre las raíces  y los coeficientes en una ecuación: Viete propuso un nuevo enfoque de la resolución de la cubica, una vez que se reduce a la forma canónica del tipo   (x^3)+3ax=b introducida una nueva incógnita y relacionada con la x por medio de la ecuación   (y^2)+xy=a y  este cambio transforma la cubica en x en ecuaciones cuadráticas en  (y^3) , Viete comprobó que si la ecuación  (x^3)+b=3ax  tiene 2 raíces positivas x1 y x2   entonces 3a= (x1 ^2)+x1 x1  +(x2  ^2), b= x1(x2 ^2) + +x2(x1 ^2)

Girard  formulo las relaciones entre raíces y coeficientes en 1629 en la obra invention nouvelle en l’algrebre , al permitir tanto las raíces negativas como imaginarias y Viete solo admitía positivas, Girard observo que las raíces negativas vienen a estar dirigidas en un sentido opuesto al de los números positivos. En geometría los negativos representan retroceso y los positivos avances, Girard se percato de que las ecuaciones pueden tener tantas raíces como indique su grado

    5.    Thomas Harriot y willian oughtred: Harriot sabia las relaciones que hay entre las raíces y los coeficientes de una ecuación y entre las raíces y la descomposición en factores, pero, al igual que Viete , se encontró con las inevitables dificultades derivadas de no tener en cuenta ni las raíces negativas ni las imaginarias. En materia de notaciones sin embargo, se le debe algunos avances importantes en el uso del simbolismo al ser el responsable de la introducción  de los signos > y < para <<mayor que >> y <<menor que>> también fue en parte su utilización del signo de igualdad de recordé lo que condujo a su adopción generalizada.

   6.    De nuevo el método de Horner: En una de sus obras tardías, la De numerosa potestatum resolutione (1600), da Viete un método para la resolución aproximada de ecuaciones, que hoy conocemos como método de Horner. Para resolver la ecuación (x^2)+7x=60750  ,  por ejemplo, Viete parte de una primera aproximación inferior para x dada por x1=200 sustituyendo entonces x =200 + (x^2) en la ecuación original se obtiene (x2 ^2)+407(x2 ^2)=19350 Esta ecuación nos conduce a una segunda aproximación x2 = 40 y sustituyendo ahora   x2 = 40+  x3  se  obtiene la ecuación (x3 ^2)+487x3=1470   de la que su raíz positiva es 3,  luego x2 =43 y x=243.

   7.    Trigonometría y prostaféresis: la trigonometría de Viete se caracteriza lo mismo que su álgebra, por el énfasis que se pone de manifiesto en la generalidad y amplitud de miras. Ya hemos visto que Viete fue el verdadero creador del algebra literal, pero también puede considerársele cono cierta justificación, como el padre del enfoque analítico general de la trigonometría que a veces recibe el nombre de goniometría también aquí parte Viete, desde luego , de la obra de sus predecesores , especialmente de Regiomontano y de Rhetilus al igual que el primero , considero viere la trigonometría como una rama independiente de la matemática y como  en el segundo trabajo generalmente sin ninguna referencia directa a las semicuerdas en una circunferencia. En su canon mathematicus (1579) calculo Viete unas extensas tablas de las seis funciones trigonométricas para ángulos de minutos en minutos. Ya  hemos visto que propugnaba enérgicamente el uso  de las fracciones decimales en vez de las sexagesimales pero en este caso y para evitar cualquier tipo de fracciones todo lo posibles

   8.     La resolución trigonométrica de ecuaciones: Viete observo también una importante conexión entre sus formulas y la resolución de la ecuación cubica: la trigonometría podría servir de ayuda al algebra precisamente en el caso en que esta última se había estrellado contra un muro de piedras, es decir, en el caso irreducible de las ecuaciones cubicas. Esta idea trisección del ángulo conducía a una ecuación cubica, si en la ecuación (x^3)+3px+q=0  hacemos la sustitución mx = y para obtener un grado de libertad al determinar más tarde el valor de m, resultad (y^3)+3(m ^2)py+(m^3)q=0 . Comprobando este resultado con la formula   cos^3q-3/4(cosq)-1/4(cos3q)=0, se puede comprobar que si  y=cosq y 3(m^2)p=-3/4 , entonces -1/4(cos3q)=(m^3)p  y como p es conocido se puede calcular m, y por lo tanto, se puede calcular  3q al ser q conocido, luego conocemos cosq, es decir, y de donde se obtiene inmediatamente el valor de x.

     9.    John Napier: John Napier no era lo mismo que Viete, un matemático profesional sino que era un hacendado escocés que con el titulo de Barón de murchiston, administraba sus extensas propiedades y aprovechaba el tiempo para escribir sobre temas variados, por ejemplo en un comentario sobre el apocalipsis de san Juan sostiene Napier que el papa de roma era el anticristo. Solo estaba interesado en algunos aspectos de la matemática, principalmente los relacionados con el cálculo numérico y la trigonometría. Las <<varillas o huesos de Napier >>   eran unas varillas en las que aparecía impresas tablas de multiplicar de tal manera que se podían aplicar fácilmente a la multiplicación por el método de la gelosia y las <<analogías de Napier >> y  las <<reglas de Napier de las partes circulares>>  eran reglas mnemotécnicas para ayudar a reconocer formulas de trigonometría esférica. 

EJERCICIOS 

    1.       Compárense  las  contribuciones de Stevin a las matemáticas con las de BÜrgi.

Stevin: 

·         Escribió el libro De Thiende << El decimo>>  

·         Se le atribuye el descubrimiento de la ley del plano inclinado

·         Formulo el convenio de que ½ dentro de un circulo significaba una raíz cuadrada y que 3/2 era una raíz cuadrada del cubo.

·         La noción (x^4)+3(x^2)-7x  la escribió como

            4   2    1

            1 + 3 -7

·         Fue ingeniero y trabajo con fraccionarios

BÜrgi:

·         Escribió el libro Arithmetishe and geometrische progress-Tabulen

·         Los logaritmo son mas aproximados a los nuestros

·         Realizo tablas de logaritmos y antilogaritmos

·         La noción (x^4)+3(x^2)-7x  la escribió como

            iv   ii   i

            1 + 3 -7

·         Utilizo el logaritmo a partir de 1+(10^-4) y lo multiplico por (10^8)

   2.       ¿Por qué se suele considerar a Viete a veces como el primer matemático realmente moderno? Explique claramente.

Viete es considerado un matemático moderno por sus trabajos realizados y es considerado además como uno de los principales precursores del algebra ya que fue el primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras, trabajo en la astronomía y tricotomía; los matemáticos del renacimiento se sentían continuadores de las matemáticas griegas, que son fundamentalmente geométricas. En la época de Viete el algebra, derivaba de la aritmética se percibe como un catalogo de reglas. Algunos matemáticos utilizaban razonamiento geométrico para justificar métodos algebraicos pero Viete utilizaba el algebra para resolver problemas geométricos, esto parecía ser más problemático y sin embargo esa era la propuesta de Viete y marco diferencia en ese aspecto.    

    3.       ¿Cuáles fueron las dos primeras curvas, que no fueron ni la recta ni la circunferencia ni combinaciones de ambas que encontraron algunas aplicaciones en la ciencia? Explique cómo se llego a aplicarlas

Estas dos primeras curvas fueron la elipse que fue aplicada a la astronomía y la parábola a la física

·         Con respecto a la elipse, las aplicaciones se observaron en la astronomía al considerar que los planetas del sistema solar tienen orbitas en forma de elipse

·         La parábola se llego a aplicar por los estudios y el análisis del movimiento de un proyectil. En una componente vertical uniformemente acelerado y se llego a conclusión de que la trayectoria que describe el proyectil, es siempre una parábola.

   4.       ¿Qué ventajas tiene las fracciones sobre las sexagesimales?¿qué razones puede dar de la tardía  aparición de las primeras en Europa?

·         Una fracción decimal es una fracción en el cual el denominador es una potencia de 10 , lo que facilita el cálculo entre operaciones como suma y multiplicación en fracciones , en comparación con las fracciones con las fracciones sexagesimales

·         Las fracciones sexagesimales decimales pueden escribirse fácilmente y hacer operaciones más rápido que las sexagesimales ya que en esta última se trabaja con grados, minutos  y segundos.

   5.       ¿Qué es un parámetro? ¿puede usted señalar ejemplos de parámetros anteriores a Viete? Explique se claramente.

Los parámetros según Viete eran las magnitudes o un número que se supone conocido o dado y se representaba con una constante

Ejemplo: la ecuación 2a(x^2)+3bx-(x^3)=D, hacia lo siguiente; la x  la nombraban A, los parámetros a y b los nombraba B y  F, al  D lo llamaba solido, a la operación de la multiplicación in, el cuadrado q (de quadratus), el cubo era c (de cubus) y la igualdad era aequartur. Escribía B2 in Aq+ F3 in A-AC aequartur D solido para representar   2a(x^2)+3bx-(x^3)=D

 toma de libro; historia de las matemáticas de Carl B. Boyer,1999, Alianza Editorial.